FREE
en ajoutant ces deux égalités, il vient J fade = [| pietoe'(o) dt
Par contre, il est nécessaire qu'à une valeur de x comprise entre & et b corresponde au moins une valeur de t entre a et B. Si l’on ne tient pas compte de cette condition, on peut être conduit
HA à des résultats absurdes. Par exemple, si à l’intégrale Je dx on +
rs applique telle quelle la formule (17) en posant x = t?, on est
conduit à écrire + 1 ES #1 ni dx = | — ÿt dt, / 2; 1 2 :
résultat qui est absurde, puisque la seconde intégrale est nulle. Pour appliquer correctement la formule, il faut partager l’intervalle (— 1, +1) en deux intervalles (— 1,0), (Co, rEtDin
premier intervalle, on posera x — — Vti, et l’on fera varier £ de 1 à o; dans le second intervalle, on posera x — V£?, et l’on fera varier { de o à 1. On trouve ainsi un résultat exact
Remarque.— Si l'on remplace, dans la formule (13), les limites
supérieures b et 8 par les limites variables æ et £, 1l vient L , t [fade [ rietis(o dr «a x
ce qui montre qu'une fonction F(x) dont la dérivée est f(x) se change, quand on pose + — (1), en une fonction ®(t) dont la dérivée est f[#(4)]2'(t). C'est aussi ce qui résulte immédiatement de la formule qui donne la dérivée d’une fonction de fonction. Nous pouvons donc écrire, d’une manière générale, |
: ft) ar HÉOIHOLZ
c’est la formule du changement de variable dans les intégrales
indéfinies.
87. Intégration par parties. — Soient w et » deux fonctions continues, ainsi que leurs dérivées u! et #', entre a et b. On a
due) , de , du dede dr
et, en intégrant les deux membres de cette égalité,
b D b d(uv) à do f du ji se dx = f ur dr sil ç Te A
ce que l’on peut encore écrire
(18) f'udo=tut- f e du,
F(b)—F(a). Si l’on remplace la limite b par une limite va-
en désignant d’une façon générale par [F(x)], la différence
riable x, a restant fixe, ce qui revient à considérer les intégrales indéfinies au lieu des intégrales définies, on a de même
(19) Jude = ue — o du.
Le calcul de l'intégrale | u dv est ainsi ramené au calcul de
l'intégrale fe du, qui peut être plus facile. Soit, par exemple,
b à calculer l'intégrale définie k x"logx dx (m+1<o); en ba * À
ami posant u —logx, v— — ei la formule (18) donne b ñ b æn+1 loco x 1° I f logæ.æn dx = | | — æ dx de Mm+t Ja -.Mm+HE Re: æn+i1 logæx à, æn+i1 se HA (mm +21)
La formule ne s applique plus si »+1—o; on a, dans ce cas
particulier, À
dx I le je logæ — — ÉTOIR
La formule (18) peut être généralisée. Désignons par w, u”, ..., utetii pl, 0", ,:., of2t1): les dérivées successives es deux fonctions w et v. L'application de la formule (18) aux inté-
grales à u dpt, de u'dptt-1),,., conduit aux égalités suivantes :
b b de U pl+1) dx — f 71 don) — [uw pt) |D - f u 102) dx, « bd
4 d b b ë u'eln) dx = fé u' dytrihe ua f u"ptn-2) dr, DE:
b b b [ ue pda = 11 ut) do —=[ulro]i f uti+l po dy.
Le ere
En multipliant ces égalités par +1 et — 1 alternativement et ajoutant, il vient
b (20) fe UpUEL du = [up — yo E'ulot2) —,, + (— Drute jé
b EE (— 1)2#1 jé uti+1) a de,
CRT
formule qui ramène le calcul de l'intégrale f up) dx au calcul de l'intégrale fur dx.
Cette formule s'applique en particulier quand on a sous le signe d'intégration le produit d’an polynome « de degré 7 au plus par
la dérivée d’ordre (n +1) d’une fonction connue ’; on a,en effet, ut) — 6, et le second membre ne renferme AT aucun signe d’i intégration. Soit, par exemple, à calculer l'intégrale définie
4 lee f(2) de,
où f(x) est un polynome de degré n:; on pOsera =" NT} ent
= —> et la formule (20) donne, en mettant ex en facteur, oi+1 1
(21) À HP = eus Li — PERS .+(—r)t =) l.
ne +1
La même méthode, ou, ce qui revient au même, une suite d’intégrations par parties, permet de calculer les intégrales définies
de cosmx f(x) dr, 5h sinmæx f(x) dx, où f(x) est un polynome.
88. Formule de Taylor. — Dans la formule (20), remplaçons w par (b— x)", # par ure fonction F(x), continue ainsi que ses dérivées jusqu à l’ordre r + 1, entre a et b. Elle devient
b Lu (b = æ)" Furt) (x) dx
= [(b— zx) FW(g) + n(b—v)r1Fu-1(x) +...
+n!(b—zx)F'(x)+n!F(x)]#.
On ure de là
ru (b— a)"
b FU (a)+ 2e f Ft+1)(2)(b — x)" dx;
le facteur (b— x} conservant un signe constant lorsque zx varie deaà b,on peut appliquer la formule de la moyenne à l’ intégrale du mo membre, ce qui donne
b b 1h Ft) (x) (db ski æ)" dx — Fu (b — x)" dx
— ER (b — a)r+1 F(2+1) LE} :
Q Di
£ étant compris entre a et b. En substituant cette valeur dans
l’égalité précédente, nous retrouverons précisément la formule de Taylor, avec la forme du reste de Lagrange.
89. Transcendance de e. — La formule (21) permet de démontrer un théorème célèbre, découvert par M. Hermite : Le nombre e n'est racine d'aucune équation algébrique à coefficients entiers (1).
Faisons, dans la formule (21), «a —0, w = —1; il vient b fl este) de = 1e F(œ)é, où
ce que nous pouvons encore écrire b (9 . F(b)=et F(o) —e? f JÜTIE AR
Cela posé, admettons que e soit racine d'une équation algébrique à coefficients entiers Co+ Ce + C2e+...+ Cme!—= Oo.
Dans l'égalité précédente (22), faisons successivement d = 0, 1,2, ...,m, et ajoutons les formules obtenues, après les avoir multipliées respective— ment par Co, C4, .+-» Cm ; Il Vient
(23) c0 F(o) + ex F(1) ++ 0m F(m)+ Ÿ cieï | f{x)e dr =0, 20 D à
l'indice à ne prenant que les valeurs entières o, 1, 2, ..., m. Nous allons montrer qu'une telle relation est impossible, si le polynome f(x), qui est resté arbitraire jusqu'ici, est convenablement choisi.
Prenons
RMS 0 — 1)P(xm—2)r...(&—=m}P,
p étant un nombre premier supérieur à m; ce polynome est de degré mp + p —1,et, si l’on caleule ses dérivées successives, à partir de la pièæe, tous les coefficients sont des nombres entiers divisibles par p, car le produit de p entiers consécutifs est divisible par p!. D'ailleurs f(x) s’annule, ainsi que ses (p —1) premières dérivées, pour æ =1,2, ..., M; il s'ensuit que F(1), F(2),..., F(m) sont des nombres entiers divisibles par p. Reste
(‘) Cette démonstration est due à M. Hurwitz, qui s’est inspiré de la méthode suivie par M. Hermite.
à calculer F(o) :
F(o)=f(o) + f'(o)+..:+ fP-0(0) + ftP)(0) + PT O) +. 7: on a d'abord f(o) =f'(o)=...= ftr-2 (0) = 0, ét UP (0) PE (0) pr
sont des nombres entiers divisibles par p pour la même raison que tout à l'heure. Pour avoir f(?-1 (0), il suffit de multiplier par (p —1)! le coeffcient de æ?—1 dans f(x), ce qui donne + (1.2... .m)P. La somme
CoF(0)+aF(1)+..+ cs F(m).
est donc égale à un nombre entier divisible par p, augmenté de CDD ANT
si l’on a pris pour p un nombre premier supérieur à 7 et à ©, ce dernier nombre ne pourra être divisible par p, et la première partie de la somme (23) sera un nombre entier différent de zéro.
Nous allons montrer maintenant qu’en prenant pour p un nombre pre-
. mier assez grand, la somme
TL
Diet [tre dx
êx0 peut être rendue plus petite que toute quantité donnée. Lorsque æ varie de o à #, chaque facteur de f(x) est plus petit que m; on a donc | f(æ)| et : apP+p—1 —— 1) S (PA)! |
pin
[ra dx
et par suite
il ex dx es RE mnp+p—1, 0 (P Ace 1) :
m'iP+p—1 < M RE TU in o(2),
Dore [ fie dx
M étant une limite supérieure de| co [+ 1al+...+1c, |. Lorsque p augmente indéfiniment, la fonction w(p) tend vers zéro, car c’est le terme général d’une série convergente, où le rapport d’un terme aû précédent tend vers zéro. On peut donc trouver un nombre premier p assez grand pour que l'égalité (23) soit impossible; ce qui démontre le théorème de M. Hermite.
90. Polynomes de Legendre. — Proposons-nous de déterminer un polynome de degré nr, P,(æ), tel que l'intégrale
Ni OP, dz
où Q est un polynome de degré inférieur à 7, soit nulle, quel que soit ce polynome Q. On peut considérer P, comme la dérivée nième d’un polynome R de degré 2n, et ce polynome R n’est pas complètement déterminé, car on peut lui ajouter un polynome arbitraire de degré nr —1, sans changer la dérivée nième, Nous pouvons donc toujours supposer que l’on a dr R an :
nn le polynome R s’annulant ainsi que ses (7 —1) premières dérivées pour æ = a. D'autre part, la formule d'intégration par parties nous donne
ê D d" R d'i—1 R ; d'—2 R dnr-1 Q b | pe Q dan dx = (a dx'-1 st Q dxn-2 Ce à a R Tr) »
puisque l’on a, par hypothèse, NÉE R'(a)=0, ET R-1)/(a)=0, il faudra que t'on ait aussi, pour que l'intégrale soit nulle, Q(b)Rw-1(b)—Q'(b) Rw-2(b) +... QU-N(b) R(b) = 0.
Le polynome Q de degré na —1 étant arbitraire, les quantités Q (8), Q'(b), ..., QU-1)(b) sont elles-mêmes arbitraires, et il faudra que l’on ait aussi
R(b)=0, RICO ee Rt2-1)(b) = o.
Le polynome R(x) est donc égal, à un facteur constant près, au produit (æ— a)t(æ—b}", et le polynome cherché P, est complètement déterminé, à un facteur constant près,
ad dæ"
Lorsque les limites & et b sont —r et +1, les polynomes P, sont les
polynomes de Legendre. En choisissant la constante C comme Legendre, nous poserons
u I dr 24) D QUE Re teur (24, AN SM ORAN RTE
Si l’on convient en outre de poser X$ =1,ona
> 3æX2— 1 52x3— 3% My, AE, Ne EE X; TESTS
X, est un polynome de degré n, où tous les exposants de x sont de même parité que nr. La formule de Leibniz, qui donne la dérivée nième d’un produit de deux facteurs, montre immédiatement que l’on a
(25) X, CE) ir NN PENSE
D'après la propriété générale que nous venons d'établir, on a, (x) désignant un polynome quelconque de degré inférieur à n,
+ 1 (26) X, Q(æ) dæ = 0;
en particulier, si m et n sont deux nombres entiers différents, on a tou-
jours +1
(27) XnXr dt 0.
Cette formule permet d'établir très simplement une relation de récurrence entre trois polynomes X, consécutifs. Observons d’abord que tout polynome de degré n peut s'exprimer comme fonction linéaire à coefficients constants au moyen de X5, X1, ..., X,. Nous pouvons donc écrire
MAT — Cons G XXE CN Sr CHX CEE
Co; G1, C2, ... étant des coefficients constants. Pour déterminer C3, par exemple, multiplions les deux membres de cette égalité par X,2 et intégrons entre les limites —1 et +1; il reste, en vertu des formules (26) et (27), +1 C3 f Dee dr =10;,
et, par suite, C3 = 0. On démontrerait de même que l’on a GC, =, C3 = 0, .... Le coefficient C1 est nul aussi, puisque le produit æX, ne renferme pas de terme en æ?. Enfin, pour déterminer C9 et C, nous n'avons qu’à égaler les coefficients de æ+1, et à égaler les deux membres pour æ =1. Nous obtenons ainsi la relation de récurrence
(28) (n+i1)Xpn—(2n+i)rXr+nXn1= 0,
qui permet de calculer très simplement les polynomes X, de proche en proche.
La relation (28) montre que la suite des polynomes
(29) X, X1, X>, CNE X»
jouit des propriétés d'une suite de Sturm ; æ variant d’une manière continue de — 1 à +1, le nombre des variations présentées par cette suite ne peut changer que lorsque x passe par une racine de X, — o. Or, les formules (25) montrent que, pour æ = —1, la suite (29) présente n variations, et, n’en présente aucune pour æ =1. L'équation X, —=0 a donc n racines réelles, comprises entre —1 et +1; ce qui résulte aussi très facilement du théorème de Rolle.
__ EXTENSIONS DIVERSES DE LA NOTION D’ INTÉGRALE. INTÉGRALES CURVILIGNES,
Nous allons généraliser encore la définition de l'intégrale définie. On a toujours supposé jusqu'ici la fonction bornée et l’in= tervalle d'intégration borné. On peut, dans certains cas, écarter ces restrictions.
91. L'une des limites devient infinie. — Soit f(x) une fonction bornée et intégrable dans tout intervalle (a, {), où a est un nombre fixe, / un nombre quelconque supérieur à a. L'inté-
grale [Ae) dx, où {> a, a une valeur déterminée, aussi grand «a que soit l; si cette intégrale tend vers une limite lorsque / augmente indéfiniment, on représente cette limite par [4e dr a Lorsque l’on connaît une fonction primitive de f(x), il est facile
de voir si l'intégrale a une limite. Ainsi l’on a
’ : Gé — Arctang/;
lorsque / augmente indéfiniment, le second membre a pour
limite =! et nous pouvons écrire
+ 11e dx T Lei TNRCS
On a de même, en supposant a positif et u —1 différent de
zéro, ACER RS 1 Ml de GUAM ErS
si p est plus grand que r, le second membre tend vers une limite lorsque / croît indéfiniment, et l’on peut écrire
Je k : PTE TETE
Au contraire, si 1 est plus petit que 1, l'intégrale augmente indé-.
