IV. — EXTENSIONS DIVERSES DE LA NOTION D'INTÉGRALE
finiment avec /. Il en est de même si u—1, car l'intégrale s'exprime par un logarithme. Dans le cas général, il s’agit de reconnaître si la fonction
j F()= [f(x dr
tend vers une limite lorsque / augmente indéfiniment. D’après un résultat établi plus haut (n° 9), cl faut et il suffit, pour que F(4) ait une limite, que la différence q F(g)— E(p)= [ JC) tende vers zéro lorsque les deux nombres p et q croissent indéfiniment, indépendamment l’un de l’autre.
Le nombre «a ne figure pas dans cette condition, ce qui s'explique, puisqu'on peut prendre pour limite inférieure de l’intégrale tout nombre supérieur à &. La condition est facile à vérifier sur l'exemple de tout à l'heure où f(x) = kx”.
Si g est plus grand que p, on a
q JE Fix) dé
et par conséquent l'intégrale f f(x) dx a une limite st l’inté-
q £ f | f(æ)1 dr, à
£ grale fl |f(x)| dx a elle-même une limite, mais la réciproque n’est pas vraie.
On remarquera lanalogie de la règle précédente avec la règle générale de convergence des séries (n° 5). Comme celle-ci, elle est, en général, d’une application difficile, si la fonction f(x) est quelconque. Nous allons passer en revue quelques cas particuliers, qu’on rencontre souvent, où l’on peut reconnaître si l’intégrale a une limite ou n’en a pas.
Supposons que la fonction f(x) soit de la forme x-*4 (x), (x) étant une fonction qui reste bornée, lorsque æ augmente indéfiniment. Le premier théorème de la moyenne donne légalité
4 l (30) f ga Ve) de à f mr da,
u étant un nombre compris entre la borne supérieure M et la borne inférieure m de Ÿ(x), pour toutes les valeurs de x supérieures à un nombre fixe À, plus petit que les nombres p et gq.
Cette formule conduit à une conclusion certaine dans les deux Cas suivants : |
1° Silenombreuest plus grandqueun, l’ intégrale [ f(x)dzx $ “
a une limite, car le facteur 1 reste fini, tandis que le fac- 7 : | SR Te teur À x”* dx tend vers zéro lorsque p et g croissent indéfini- L P
ment.
2° Si le nombre à est£1,et si M et m sont du méme signe,
l'intégrale n'a pas de limite.
En effet, la valeur absolue de y, qui est compris entre deux nombres du niême signe M et m, reste forcément plus grande que le plus petit des deux nombres trmiliter [M|. Quant au fac-
7 4 teur Ve z-*dx, il augmente indéfiniment avec p, si l’on prend par e P
exemple g = p?.
Il y a doute lorsque & est £1, si les deux nombres M et m sont de signes différents, car le second facteur du produit (30) ne tend pas vers zéro, mais on ne peut rien affirmer du premier facteur u.
COSAT Doit duit x? f(x) est constamment plus petit que l’unité en valeur abso-
Par exemple, l'intégrale dx a une limite, car le pro-
RS Sin T dx; nous
lue. On ne peut rien dire jusqu'ici de l’intégrale {à avons en effet dans ce casa =1, M=1, m——1.
Les règles précédentes suffisent pour décider si une intégrale a une limite ou non quand on peut trouver un nombre positif a tel que le produit x* f(x) tende vers une limite différente de zéro pour æ infini. Dans ce cas, en effet, les deux nombres M et m sont du même signe que la limite de ce produit. L'intégrale a donc une limite si & est plus grand que 1 et n’a pas de limite si & est inférieur ou égal à 1.
Par exemple, pour que l'intégrale d’une fraction rationnelle ait une limite, lorsque la limite supérieure de l'intégrale augmente indéfiniment, il faut et il suffit que le degré du dénominateur sur-
es
