IV. — EXTENSIONS DIVERSES DE LA NOTION D'INTÉGRALE

passe le degré du numérateur d’au moins deux unités. Prenons

encore APCE

| VRG@)

Pet R étant deux polynomes de degrés p et r respectivement; le à

.. 3 —P Nes ee : ; ; produit x? f(x) a une limite différente de zéro pour x infini. Pour que l'intégrale ait une limite, il faut et il suffit que l’on

aitp<=—1.

92. Application de la seconde formule de la moyenne. — Le raisonnement qui précède peut être généralisé. Lorsque la fonction f(x) est de la forme f(x) —v(x)%(x), la fonction d(x) étant posiuve et la fonction w(x) restant bornée lorsque x augmente indéfiniment, la première formule de la moyenne donne

q er f(æ)dæ =u | Y(x)dx, f Î

u étant un nombre qui reste borné lorsque p et q augmentent ; | indéfiniment. Si l'intégrale L(x) dx tend vers une limite, a

q q 14 d(x) dx tendant vers zéro, il en est de même de ‘fe NCA) et p D

par suite l’intégrale fe ÉCPNAT a aussi une limite.

La seconde formule de la moyenne conduit de même à une nou-

velle condition suffisante de convergence.

Si la fonction f(x) est de la forme w(x)Ÿ(x), o(x) étant une fonction positive décroissante, on a (n° 77)

(31) IÉOCLCEOROE (Per).

d’où l’on déduit immédiatement la proposition ci-dessous :

/ L'intégrale f o(æ)Y(x)dæx, où o(x)estune fonction positive «a

décroissante qui tend vers zéro lorsque x croît indéfiniment, a q une limite pourvu que lavaleur absolue de l'intégrale d(x) dx P

reste plus petite au un nombre fixe, quels que sotent p et q. ptus p q : 4 q pétq

On a un exemple simple en prenant d(x) = sinx, car la valeur “a | | absolue de f sin x dx est au plus égale à 2. ILest facile de montrer L2 P | directement que l'intégrale f. o(x)sinx dx, où w(x)est une fonc «a

uon positive décroissante, qui tend vers zéro lorsque x croît indéfiniment, a une limite, et que la convergence est comparable à celle d’une série altérée.

Supposons, pour fixer les idées, a — 0, le produit #(x)sinæ

restant fini pour x = 0. La courbe y = o(x)sinx a l'aspect d’une sinusoïde, traversant l’axe Ox aux points x = k7. Nous sommes ainsi conduits à étudier la série alternée

(32) Ap—- A+ A — Ag. + (—i) an+...,.

où l’on a posé (n+1)T FN DE o(æ)sinæ dx |; nr

an représente l'aire de la boucle comprise entre la courbe et le segment de Ox limité par les points d’abscisses nt et (n + 1)7. En posant 3 — y + nt, on a aussi

T an= f. (y +nr)siny dy.

Il est évident que la fonction sous le signe d'intégration diminue

quand À augmente, puisque #(x) est une fonction décroissante, et, par suite, On à Gyy1 << @n. D'autre part, @a, est plus petit que ro(nr) et par conséquent tend vers zéro quand n augmente indé= finiment. La série alternée (32) est donc convergente. Soit / un nombre compris entre nr et (n + 1)T; nous avons

D ik p(æ)sinx du =S, Ep af A0 ES

Sr étant la somme des n premiers termes de la série (32): Lorsque / augmente indéfiniment, il en est de même du nombre entier n, a, tend vers zéro et l'intégrale a pour limite la somme S de la série (32).

+ œ On démontre dé la même facon que les intégrales f sin æ? dx,