IV. — EXTENSIONS DIVERSES DE LA NOTION D'INTÉGRALE

+ © ‘4 cosæ? dæ, qui se présentent dans la théorie de la diffracuon,

ont une valeur finie. La courbe y — sin x?, par exemple, a la forme ondulée d’une sinusoïde, mais les ondulations vont en se resser-

rant de plus en plus, car la différence V(r + 1)T— Var de deux racines consécutives de sinx? tend vers zéro quand n croît indéfiniment. On peut du reste ramener ces intégrales à la forme précédente en posant x? — y.

Remarque. — Ge dernier exemple donne lieu à une remarque intéressante. Lorsque x croît indéfiniment, sin x? oscille entre —1 et +1; l'intégrale peut donc avoir une limite sans que la fonction sous le signe d'intégration tende vers zéro, autrement dit sans que la courbe y = f(x) soit asymptote à l’axe des æ. Voici encore un exemple où il en est de même et où la fonction f(+) conserve de plus un signe constant. Soit

fe) =

1 + x sin?

cette fonction est constamment positive si æ est positif, elle ne tend pas vers zéro, car on a f(kr) = kz. Pour faire voir que l’intégrale a une limite, considérons comme plus haut la série

C6 7 panel 4 em ne oo (2 0e ei CCE

(n+1)T x dx An — 2 DEEE EEE ; IT sin? x?

æ variant de n7 à (n+1)7, 6 est supérieur à né x, et l’on a

(n+1)T TL F2 rs LR + 1x f nT

1 + n°6 sin?Z

Une fonction primitive-est

= tang (1 + nS$ ns tangæ ).