PATENT

æ variant de nat à (n+1)r, tangx devient infinie une seule fois en pas-

sant de x à —; donc l'intégrale est égale (n° 79) à ——— et Vi + niri

l’on a

(nr +1)r*? (n +1)

An RE es Vi + n$Tr6 nr

La série £a, étant convergente, l'intégrale / f(x) dx a une limite.

Il est d’ailleurs à peu près évident que, si f(x) a une limite différente de zéro pour æ infini, l'intégrale ne peut avoir de limite. On a en

q effet f. f(x) dx = u(qg —p); si f(x) a une limite kZo, u a la même P

limite , et le produit 1(q — p) ne peut tendre vers zéro.

93. La fonction à intégrer devient infinie. — Considérons d’abord le cas particulier suivant. La fonction f(x) est bornée et intégrable dans tout intervalle (a+ e, b), où a < b, & étant un nombre positif quelconque plus petit que b — a, mais elle devient infinie pour x = a. L'intégrale de f(x), prise entre les limites a+ et b, a une valeur finie, aussi petit que soit e. S1 cette intégrale tend vers une limite lorsque e tend vers zéro, on convient, comme il est naturel, de représenter cette limite par

| [re pre

Lorsque l’on connaît une fonction primitive de f(x), soit F(x), on a b 4 J(æ) dx = F(b)—F(a+:) a+E€e

et 1l suffit d'examiner si F(a + <) tend vers une limite lorsque « tend vers zéro. On a, par exemple,

SENTE , à: | Va (T— a p—1|(b a) eur (1).

k I ; , ; Si ui, de terme Hi augmente indéfiniment lorsque + tend

vers zéro; au contraire, si 4 est moindre que 1, on peut écrire gl—1

tégrale définie tend donc vers une limite

— €'"Ÿ, et l’on voit que ce terme tend vers zéro avec +. L’in-

* Mdx M(b—a-t.

, (—a) Th

SIDE NO ra

" TE = Miog (2) 24 2 PET :

et le second membre augmente indéfiniment lorsque e tend vers

IV. — EXTENSIONS DIVERSES DE LA NOTION D'INTÉGRALE. 221 zéro. En résumé, pour que l'intégrale considérée ait une limite, #l fautet il suffit que n soit moindre que un.

La courbe qui a pour équation M ONE EFAT

admet la droite x — a pour asymptote, si a est positif. Cependant l'aire comprise entre l’axe des x, une ordonnée fixe x — 6, la courbe et son asymptote a une valeur finie, d’après ce qu’on vient de voir, pourvu qu'on aitu <1.

Dans le cas général, la question revient à reconnaitre si la foncuon de €

TO f(x) dx

tend vers une limite lorsque € tend vers zéro par valeurs positives.

Il faut et il suffit pour cela (n° 9) que la différence

3 a+E€ F()—F(#)= f fie) a+E€ tende vers zéro, lorsque les deux nombres positifs e, e" tendent vers zéro, indépendamment l’un de l’autre.

On en déduit les mêmes conséquences qu’au n° 91; nous les

indiquerons rapidement. Si la fonction f(x) est de la forme

Y(x) LE | Ur) — HR PEU étant un exposant positif, et Y(æ) une fonc-

tion qui, dans le voisinage du point a, reste comprise entre deux nombres fixes M et m,ona

a +£ a+E€' dx DR en cr:

u étant compris entre M et m. Cela étant :

1° Sa est inférieur à un, l'intégrale a une limite ; 2° SiaZ1, les deux nombres M et m étant de méme signe, l'intégrale n’a pas de limite.

Il y a doute siz21, lorsque M et m sont de signes différents. Toutes les fois qu’il existe un nombre # tel que le produit (æ — a)ÿ*f(x) ait une limite K différente de zéro, lorsque x tend

vers à, il faut et il suffit que à soit IRÉUEEE à un pour que l'intégrale ait une limite.

ee 22 ‘ ; « Exemples. — Soit f(x) — = une fonction rationnelle; si & est une racine d'ordre »# du dénominateur, le produit (x — a)"f(x)

tend vers une limite différente de zéro pour æ — a. Comme m est

au moins égal à 1, on voit que l'intégrale f(x) dx croît indé- + € finiment lorsque e tend vers zéro. Supposons au contraire

MRC Arr re

Pet R étant deux polynomes et R(x) étant premier avec sa dérivée:

& étant une racine de R(x), le produit (> —aŸf(x) a une limite pour + = a; l'intégrale a donc elle-même une limite. Ainsi è dx

re vi SR

a pour limite — pour € — 0.

1 LA Prenons encore l'intégrale f logx dx; le produit x’logx a

€ zéro pour limite; à partir ets valeur de x assez petite on peut

donc écrire | logæ | < Mz 2 M étant un nombre positif choisi à volonté. |’ intégrale a donc une limite.

Tout ce qui a été dit de la limite inférieure a peut être répété sans modification pour la limite supérieure 6. Si la fonction f(x)

est infinie pour æ — b, on définira l'intégrale / f(x) dx comme limite de l'intégrale JS Pe dx, lorsque :' tend vers zéro. Si f(æ) est infinie aux deux limites, on définira f° f(x) dx comme la

limite de l’ intégrale [ na dx, lorsque : et e’ tendent vers zéro,

indépendamment l'un ve l’autre. Soit « un nombre quelconque compris entre a et b; nous pouvons écrire

b—E JEU fr)de = [7 S)ar+ [| f(æ) dæ,

Di