IV. — EXTENSIONS DIVERSES DE LA NOTION D’'INTÉGRALE

et chacune des intégrales qui sont au second membre doit admettre une limite. Enfin, si f(x) devient infinie pour une valeur c com-

b prise entre a et b, on définit l'intégrale / f(x) dx comme la (AE

. ee! b somme des limites des deux intégrales f CAT: fe XL) dE,

t CHE et l’on procède de la même facon pour un nombre quelconque de On | q

discontinuités comprises entre & et b.

Il est à remarquer que la formule fondamentale (8), qui a été établie en supposant f(x) continue entre a et b, s'applique encore si f(x) devient infinie entre ces limites, pourvu que la fonction primiuive F(x) reste continue. Pour fixer les idées, supposons que la fonction f(x) ne devienne infinie que pour une valeur c comprise entre a el b. On a

b c—E€" of fiæ)dæ=lim [ f(r)dr+lim f f(x)dr; a E"=0 à

si F(x) est une fonction primitive de f(x), nous pouvons écrire ect. :

b vi la) de—limF(e <)-Pla)+F(b)-—limF(c+e) 7 £"=0 € =0

La fonction F(x) étant supposée continue pour æ — c, F(c+:) et F(c—e') ont la même limite F(c), et par suite 1l reste

b fl PA) di = EF(0)=F(«).

Par exemple,

Si la fonction primitive F(x) devient elle-même infinie entre «a et b, la formule n’est plus applicable, car l'intégrale qui est au premier membre n’a, du moins jusqu’à présent, aucun sens.

Les formules du changement de variable et de l'intégration par parties s'étendent de la même façon aux nouvelles intégrales, en les considérant comme limites d’intégrales ordinaires.

94. La fonction l'(a). — L'intégrale définie + © (53) Fr(ad= lé œma-lerz dr Et)

a une valeur déterminée, pourvu que a soit positif. Considérons en effet les deux intégrales

Nf æa-1e-x dæ, [ aa let de, E V1

où € est un nombre positif très petit, et / un nombre positif très grand- La seconde intégrale a toujours une limite, car à partir d’une valeur de # assez grande on a alex = ce qui revient à écrire e > æ4+1, Quant à la première intégrale, le produit xt-4 f(x) a pour limite 1 lorsque æ tend vers zéro; pour que l'intégrale ait une limite, il faut et il suffit que 1 —@ soit inférieur à, un, ou que a soit positif. Supposons cette condition rem plie : la somme des deux limites est la fonction l'(a), appelée aussi inté-= grale eulérienne de seconde espèce. Cette fonction T(a&) devient infinie lorsque a tend vers zéro; elle a une valeur positive pour toute valeur positive de &, et augmente indéfiniment avec a. Elle présente un minimum pour æ —1,46163521..., et la valeur correspondante est 0,8556032... Intégrons par parties la formule (33) et supposons a = 1: en considérant ex dx comme la différentielle de — e-x, il vient ;

+ 00 T(a)=—-[zt-te-x]S® + (a —1) f æ4"2 FE De

mais le produit x4-te-* est nul aux deux limites, puisque a > 1, et il reste

L'application répétée de cette formule permet de ramener le calcul de (a) au cas où l’argument & est compris entre o et 1. Il est facile d'en déduire la valeur de T (a), lorsque a est un nombre entier. On à d’abord

la formule précédente donne ensuite successivement, en faisant a — 2, SA LATE: PEAR ;

TESTER D(5) =0T (2) eu

4 . r , . . 6 a et, d'une manière générale, si 7 est un nombre entier positif,

(35) l'{n) ETAPE