IV. — EXTENSIONS DIVERSES DE LA NOTION D'INTÉGRALE

9%. Intégrales curvilignes. — Voici une extension d’une autre nature, extrêmement importante, de la notion d’intégrale. Prenons, pour fixer les idées, une courbe plane C, représentée par les deux équations x = f(t), y — o(£); en faisant varier £ de a à O0, on obtient un certain arc AB de cette courbe. Supposons, par exemple, a < b, et prenons entre & et b une suite de nombres Re a tt, tn Lln = 06), et dans chaque intervalle Date ie." prenons à volonté une autre valeur 0;(4;,<0,< t;). Soient (x;, y;) les coordonnées du point de C qui correspond à la valeur £; du paramètre, (Ëi, ni) les coordonnées du point qui correspond à la valeur 8;. Soit Etry)une fonction des deux variables x et J continue tout le long de Parc AB; considérons la somme

(36) PCË1, m1) (di — o) + P(E, no) (to — di) +... RCE ner Mr) Le.

étendue à tous les intervalles partiels. Lorsque le nombre n croît indéfiniment, de façon que la plus grande des différences 4; —#;., tende vers zéro, la somme précédente tend vers une limite que l’on appelle l’éëntégrale curviligne de P(x, y) étendue à l'arc AB, et que l’on représente par le symbole

JP de, AB

qui se lit : somme le long de AB de P(x, y) dx.

Pour démontrer l'existence de cette limite, nous supposerons que l’on peut partager l'intervalle (a, b) en un nombre finit d’intervalles partiels dans chacun desquels la fonction LP a constamment en croissant ou en décroissant, ou reste constante. Supposons d’abord que, € croissant de a à b, x croisse constamment de x, à X.

L'arc de courbe AB n’est rencontré qu’en un point par une droile parallèle à Oy, et peut être représenté par une équaon y — 4 (x), la fonction (x) étant continue de +, à X.

En remplaçant y par (x) dans P(x, y), le résultat est une fonction continue D(x)—P[>, d(x)], et l’on a

PC, ni) = PT: Y(br)] = P(E).