II, — FONCTIONS. — GÉNÉRALITÉS

1/10. Fonctions monotones. — Une fonction f(x), définie dans un intervalle (&, b), est dite monotone dans cet intervalle SLT, et æ: étant deux nombres quelconques appartenant à l'intervalle,

le produit (ta— 21) [f(r2) — f(æ1)]

a toujours le même signe. La fonction est croissante si ce produit est positif ou nul, quels que soient x, et æ:; elle est décroissante si ce produit est, au contraire, négatif ou nul, quels que soient Ty et Lo.

Si nous supposons Z2>>æ1, la différence f(æ2) — f(x,) est positive ou nulle pour une fonction croissante et négative ou nulle pour une fonction décroissante. Lorsqu'une fonction monotone a la même valeur pour + — x, et pour x — #2, elle conserve la même valeur dans tout l'intervalle (x,, æ:). Une fonction monotone peut avoir des points de discontinuité en nombre quelconque dans l’intervalle (a, b), mais tous ces points de discontinuité sont de première espèce. Considérons, par exemple, une fonction croissante et soit z, un point de discontinuité. Lorsque + tend vers zéro, en restant positif, f(x, —+) ne peut décroître; d’ailleurs il reste toujours <f(b). Donc f(x, —<) a une limite f(xs— 0), et l’on verrait de même que f(x, + ©) a une limite f(x, +o). Soit xs un point quelconque. Comme on a toujours f(x — €) £f(x0o + c), on en conclut qu'on a aussi f(x, —o)<f(xs+o). Lorsque Dit 0)—/(7 0), on à forcément f(ro) —f(Zo—0) et la fonction est continue au point x. Mais, si f(xs— 0) est inférieur à f(Zo +0), f(Xo) peut être un nombre quelconque compris entre f(4, —o)et f(x + 0).

Remarque. — 11 y a quelquefois lieu de distinguer une foncon croissante d'une foncüon qui va constamment en croissant. Nous appelons ainsi une fonction férptelleque, sil'ona x 74, On ait aussi f(X2) > f(x), le signe — étant exclu. On définit de même une fonction qui va constamment en décroissant.

11. Fonctions à variation bornée. — Soit f(x) une fonction bornée dans un intervalle (a, b), où a < b. Partageons cet intervalle en intervalles partiels au moyen de nombres croissants æ1, æ2, ..., æ» 1,

PRE CA SN NAME BRAS En 10,

et posons

(A) = lf(m)—f(a)|+ 1e) —f(e)| ++ 1/0) = fn ie

A chaque division de l'intervalle (a, b) correspond ainsi un nombre #20 qu’on appelle la variation de f(æ) pour cette division. Si l’ensemble des nombres #, qui correspondent à tous les systèmes de division possibles, est un ensemble borné, on dit que la fonction f(x) est à variation bornée dans l'intervalle (a, b). La borne supérieure V des nombres » s'appelle la variation totale de la fonction f(x) dans cetintervalle. L'introduction de cette classe importante de fonctions est due à M. Jordan.

Toute fonction monotone est évidemment à variation bornée, car toutes les différences f(x;) — f(æi-1) sont de même signe. Il résulte aussi de la définition que la somme de deux fonctions à variation bornée est aussi une fonction à variation bornée. Si f(æ) est à variation bornée dans l'in tervalle (a, b), elle sera aussi à variation bornée dans tout intervalle (a, b:) intérieur au premier et en particulier dans l’intervalle (@&, æ), æ étant un nombre quelconque compris entre a et b.

Soit p la somme de celles des différences f(æ;) — f(æi-,) qui sont positives, et — x la somme de celles de ces différences qui sont négatives. On a évidemment

Met LE ni? f(b)—f(a)=p—n, et par suite

o=2p+/f(a)—f(b), = 2n+/f(b) —jf(a).

Si la fonction f(x) est à variation bornée, l’ensemble des nombres pet l’ensemble des nombres n, pour toutes les divisions possibles de lPintervalle, sont donc aussi des ensembles bornés. Soient P et N les bornes supérieures de ces deux ensembles qu’on appelle aussi variation totale positive et variation totale négative. Entre les nombres V, P, N on a, d’après ce qui précède, les relations

V=92P+f(a)—f(b), V=2N ECO

Appelons de même V(x}, P(x), N(x) les trois variations totales dans l’invalle (a, x), x étant compris entre a et b. D’après leur définition même, ces trois fonctions V(x), P(æ), N(x) sont des fonctions croissantes; il est évident en effet que P(x) et N(x) ne peuvent décroître quand x augmente. Entre les fonctions f(x), V(æ), P(æ), N(x) on a toujours, quel que soit æ, les deux relations

(5) V(z)=2P(x)+f(a)—f(x), V(æ)=2N(x) + f(x) —ÿf(@); d’où |

(6) S(æ) = fa) + P(x) — N(x).