IV. — EXTENSIONS DIVERSES DE LA NOTION D'INTÉGRALE. y
même façon; ces intégrales, comme on le voit, se ramènent immédiatement aux intégrales définies ordinaires, mais leur introduc- Uon se justifie par leur utilité. Nous ferons remarquer aussi que lorsque l’arc AB se compose de plusieurs segments de courbe distincts, tels que droites, ares de cercles, etc., on doit calculer séparément les intégrales curvilignes provenant de chacun de ces segments.
Un cas très fréquent dans les apphcations est celui où les fonctions f (t), &(4) ont des dérivées continues dans l'intervalle (a, b). Dans ce cas, nous avons
Ba yes = (05) (tr tr),
6; étant compris entre t;iet t;; si l’on prend pour le point (in celui qui correspond à cette valeur 8;, il vient
Dà PE ni) (ri — œi 4) => PET CII) CE é 4)
et, en passant à la limite, b JPG nd = f PLyEe), e1fto de AB a
On obtiendrait de la même façon une formule analogue pour /Q dy,
et, en ajoutant les deux formules, il vient
(37). J Pa+ ar = f LP F'(4) + Q o'(4)] de:
c’est la formule du changement de variable dans les intégrales curvilignes. Bien entendu, si l'arc de courbe AB se compose de portions de courbes distinctes, lés fonctions f(4) et o(t) n'auront pas la même expression tout le long de AB, et l’on appliquera la formule à chacune des portions séparément ne
(!) Il est facile de démontrer l'existence d’une limite pour la somme (36), dans un cas plus général que celui qui est considéré dans le texte. Cette somme P 8 q q peut s’écrire en effet
DCIOIMOETONE
si l’on se reporte à la note du n° 74, on voit que cette somme a une limite lorsque la fonction f(£) est croissante.
Il en sera évidemment de même si f(£) est la différence de deux fonctions
96. Application à l'aire d’une courbe fermée. — Pour donner un exemple de l'utilité des intégrales curvilignes dans la généralisation des énoncés, reprenons la formule qui donne l’aire du domaine limité par la courbe fermée Am, Bm:A'A de la figure 11
b b (n° 81). Les deux intégrales f Ya(æ)de, [ L,(æx) dx sont
égales respectivement aux intégrales curvilignes 1 y dx, À’ B
© An;
change le signe d’une intégrale curviligne en changeant le sens
y dæ; d’autre part, l'intégrale ra y dæ est nulle, et l’on B AAA
de parcours. Si nous convenons de dire que le contour C est décrit dans le sens direct lorsqu'un observateur debout sur le plan et décrivant ce contour laisse à sa gauche l'aire enveloppée [les axes ayant la disposition habituelle, comme dans le cas de la figure (t)]|,le résultat obtenu peut s'exprimer comme il suit : L’aire Q enveloppée par le contour fermé C a pour valeur
(38) o=— | yar.
l'intégrale curviligne étant prise le long du contour fermé C dans le sens direct. Cette intégrale ne changeant pas; quand on déplace l'origine des coordonnées, la formule subsiste, quelle que soit la position du contour C par rapport aux axes de coordonnées.
RS
croissantes, c’est-à-dire une fonction à variation bornée. De même, l'intégrale
curviligne Q(æx, y) dy aura une valeur déterminée si la fonction y =#(t) «/ AB est à variation bornée. En appliquant celte remarque aux intégrales curvi-
ligues fr az, [= dy, on en conclut que le domaine D, limité par une courbe
fermée C[æ=f(t), y=#(Et)], est quarrable pourvu qu’il existe une combinaison linéaire ax + by qui soit une fonction à variation bornée, car on pourra toujours choisir les axes de facon que l’abscisse soit une fonction à variation bornée.
(1) D’une facon générale, quelle que soit la disposition des axes de coordonnées Oæx, Oy, on dit qu’un contour fermé Cest décrit dans le sens direct si
la rotation de — qui améne la direction positive de la tangente sur la direction de la normale intérieure au contour C s'effectue dans le même sens que la rota-
