IV. — EXTENSIONS DIVERSES DE LA NOTION D'INTÉGRALE
Considérons maintenant un contour C de forme quelconque. Nous supposerons qu’on peut, en menant des transversales joignant deux points de C, obtenir des contours partiels dont chacun n’est rencontré qu’en deux points par une droite parallèle à Oy. Tel est le cas de la région limitée par le contour C de la figure 15 que lon
décompose, au moven des transversales ab, cd, en trois régions limitées respectivement par les contours amba, abndcqa, cape, à chacune desquelles on peut appliquer la formule précédente. En ajoutant les résultats obtenus, les intégrales curvilignes provenant des lignes auxiliaires ab, cd se détruisent, et l'aire limitée par GC est encore égale à l'intégrale curviligne — [> dx, prise le long de C dans le sens direct. \
On démontre de la même façon que l’on a
(39) O0— | x dy, (C)
et, en combinant les deux formules, 1l vient
(40) 0: | dy —yar,
les intégrales étant toujours prises dans le sens direct. Par exemple, l’aire de l’ellipse, représentée par les formules
= ACOST, y = b siné, a pour expression
0 = f ab(cos?t + sin?t) dt = rab.
Quand on passe des coordonnées rectangulaires aux coordonnées
polaires par les formules += cosw, y —p sinw, on trouve aussitôt la relation x dy — y dx —p? dw, de sorte que l'intégrale curvi-
ligne (40) est identique à l’intégrale = fe’ dw, prise le long de la courbe C (cf. n° 81). |
Remarque.— Toute intégrale curviligne f P dx + Q dy, prise le long
d’un contour fermé GC, dans le sens direct, peut s’écrire sous une forme un peu différente, en faisant intervenir l'arc du contour. Soient a, Ê les angles de la direction positive de la tangente avec O x et O y (comptés de o à x), «' el f'les angles de la direction de /a normale intérieure avec Ox et Oy. Supposons que, par un point M de C, on mène deux demi-droites Mx', My respectivement parallèles à Ox et à O y; une rotation qui amène Mz' sur la direction positive de la tangente amènera My’ sur la normale intérieure, et par suite on à f'= «, cosfi"— cosa. La relation d’orthogonalité
cosa cos + cosf cosf—= 0
donne ensuite cos 8 — — cosz”,
et par suite dx = cosa ds = cosfds, dy = cosf ds —=— cosu'ds.
L'intégrale curviligne fe dx + Q dy devient donc ; NF Nr
at cos B'— Q cosa') ds, G
l'élément ds étant essentiellement positif. Si le contour C présente des points anguleux,on le décomposera en plusieurs arcs de façon que sur chacun d'eux a’ et fi" soient des fonctions continues de s, et l’on fera la somme des intégrales étendues à chacun des arcs. j
Par exemple, l’aire d’un domaine D est représentée par l’une ou l’autre
des intégrales Le cosa' ds, — fr cos B' ds, £ C
et ce résultat est indépendant de la disposition des axes.
97. Valeur de l'intégrale + / dy — y dx. — 1l est naturel de se
demander ce que représente l'intégrale [+ dy — y dx, prise le long 5 > 2 « d’une courbe de forme quelconque, fermée ou non.
Considérons, par exemple, les deux courbes fermées OAOBO, ApBgCrAsBtCuA (fig. 16) qui ont respectivement un point double
