V. — DIFFÉRENTIATION ET INTÉGRATION

et trois points doubles. Il est clair que l’on peut les remplacer l’une et Pautre par la réunion de deux courbes fermées sans point double. Ainsi le contour fermé OAOBO est équivalent à la suite des deux contours OAO, OBO, L'intégrale prise le long du contour total est égale à l’aire de la boucle OAO diminuée de l’aire de la boucle OBO. De même, le second contour peut être remplacé par les deux courbes fermées Ap Bg CrA et AsBtCuA.

L'intégrale est donc égale à la somme des aires des boucles ApBsA, BtCqgB, Ar Cu A, plus deux fois l’aire de la boucle As Bag CuA. Le raisonnement est général. Un contour fermé, avec un nombre quelconque de points doubles, détermine un certain nombre de domaines partiels, d’aires 1, C2 +.) Cp, Qu'il ne traverse plus et qu’il limite complètement. L'intégrale, prise le long du contour total, est égale à une somme de la forme

M7 MI +... + MpOp;,

Mi, M2, -.., Mp étant des nombres entiers positifs ou négatifs, que l'on détermine par la règle suivante : Étant données deux aires limitrophes 5, s séparées par un arc ab du contour ©, on imagine un observateur debout sur le plan et décrivant le contour dans le sens indiqué par les flèches; l’aire laissée à gauche a un coefficient supérieur d'une unité à celui de l’aire laissée à droite. On donne le coefficient o à l'aire 1lhimitée extérieure au contour, et l’on détermine les autres coefficients de proche en proche.

Si l’on a un arc de courbe AB non fermé, on le transforme en une courbe fermée en joignant les extrémités À et B à l’origine, et l’on applique la règle précédente à ce contour; car l’intégrale f = dy — y dx, prise le long

LA

des rayons OA et OB, est évidemment nulle.