V. —. DIFFÉRENTIATION ET INTÉGRATION SOUS LE SIGNE f

98. Différentiation sous le signe | . — On a souvent à étudier des intégrales définies où la fonction à intégrer dépend non seulement de la variable d'intégration, mais d’une ou plusieurs variables que l’on considère comme des paramètres. Soit f(x, 4) une fone-.

ton des deux variables x et &, continue lorsque æ varie de x, à X et que « varie entre Certaines limites &, 4,: L'intégrale définie

F(a)= f(x, 2) dr, où l’on suppose que « ait une valeur déterminée comprise entre el «,, et où les limites x, et X sont indépendantes de 4, est une fonction de la variable &, dont nous. allons étudier les propriétés. Nous pouvons écrire

(D Fat aa) F(a)= [| [fGe 2 + 42) — fe, 2)] da:

la fonction f(x, «) étant continue, on peut prendre As assez petit pour que la différence sous le signe d'intégration soit moindre en valeur absolue qu’un nombre positif donné à l'avance e, quel que soit æ. L’accroissement AF (4) sera donc moindre en valeur absolue que e[ X — x]; ce qui prouve la continuité.

Si la fonction f(x, :) a une dérivée par rapport à la variable «, on a

f(x, 2 + Ax) — f(x, a) = Az| fix, œ)+e],

e tendant vers zéro en même temps que Az. On peut donc écrire, en divisant les deux membres de l'égalité (41) par Av,

n X X LE FO 2 f FES a) de + f e dx;

‘0 désignons par n une limite supérieure de € en valeur absolue, la dernière intégrale est moindre en valeur absolue que n[X — xl et, en passant à la limite, il vient

dE Le (42) PS f fat; «) dr.

Pour que la conclusion soit absolument rigoureuse, il faut être assuré que l’on peut prendre Az assez petit pour que la valeur absolue de € soit moindre que tout nombre positif n donné à l’avance, et cela pour toutes les valeurs de + comprises entre les limites +, et X. Il en est certainement ainsi lorsque la dérivée f(x, «) est elle-même continue. En effet, le théorème des accrois-