V. — DIFFÉRENTIATION ET INTÉGRATION

sements finis donne J(æ, a+ Aa) — f(x, a) = Aufa(x, a + 0 A) (o LB <1), et l'on a, par conséquent, ce — fat, a +6 Aa)—fa(x, a).

Si la fonction f, est continue, la différence < sera moindre que r en valeur absolue, quels que soient x et +, pourvu que [As| soit inférieur à un nombre positif À choisi assez petit (n° 12). Supposons maintenant que les limites X et x, sont elles-mêmes des fonctions de &. On peut écrire, en désignant par AX et A, les accroissements correspondant à un accroissement A,

F(aæ+ à) F(a)= f (fe, a+ 42) —f(r, 2)] de " xo+ ATX

X+AX # “6 f(æ, a + Aa) dr — Î f(æ, ++ Aa) de, x To

ou, en appliquant le théorème de la moyenne aux deux dernières intégrales et divisant par Au,

ne Ce a+ Aa)= fa, a) Aa ms re Az |

AX Az Sr + AX, x + Ax) — = f (æo+ ar, x + Aa).

Lorsque Ax tend vers zéro, la première intégrale a la même limite que plus haut, et il vient, en passant à la limite,

. dF ; dx dx CODES = f faite, a) de + PCR, à) — TE fo: 2).

C'est la formule générale de différentiation sous le signe se

Toute intégrale curviligne pouvant se ramener à une somme d’intégrales définies ordinaires, la formule s’y étend immédiatement. Par exemple, soit

F(a) = Je Pix, y,2)dx + Q(x, y, a) dy AB

une intégrale curviligne prise le long d’un arc AB qui est le même,

quel que soita; on a

F'(a) = f. Ph(æ, y, a) de + Qu(x,y,a dy, AB »

l'intégrale étant prise le long de la même courbe.

* 99. Intégration sous le signe hé — Soit f (x, y) une fonction des deux variables +, y, qui est continue dans le domaine D défini par les conditions (a£x£b,c£y£d), a, b, c, d étant des conistantes. La signification de l'expression

b d f dr f fn

est bien clawe; x . une valeur déterminée comprise entre &

el HA intégrale if f(x; y)dy estune fonction continue de x que

l’on intègre ensuite entre les limites & et b. Dans cette expression, on peut intervertir l’ordre des intégrations. sans changer le | résultat. En d’autres termes, on a l'égalité À

CPE CE af sens [| C7 fe y) des.

quiest la formule d'intégration sous le signe FÉ Pour le démontrer, laissons @, c, d constants et remplaçons à par un nombre variable { compris entre a et b; l'égalité devient

(5) [ae fre ») dy = : ‘a [rc y)dz.

Les “ve membres hi cette FD sont des fonctions de t qui sont nulles pour t= à; il suffira donc de prouver que leurs dérivées: par rapport à £ sont one Or, si l'onpose———

d L ++ d É [fe nay=ra, [ra party), la relation (45) s’écrit

t d NN [ F(x) dx = f. B(t, y) dy, : 3 k