V. — DIFFÉRENTIATION ET INTÉGRATION

et l’on vérifie immédiatement us les dérivées des deux membres

par rapport à {, F (4) free ne dy, sont égales à je f(t,7)dy:

Les démonstrations précédentes supposent essentiellement que les fonctions sous le signe d’intégration sont continues et que les limites de l'intégration sont finies. Lorsque ces ‘conditions ne sont pas remplies, les conclusions peuvent être toutes différentes et l'application des formules habituelles (43) et (44) peut conduire à des résultats illusoires ou même absurdes.

On a par exemple

a a dx | HE I F(«:) = fe — = [arc ang? | — Arc tang -; œ 0 5

a+ x? a lo

cette fonction est discontinue pour 4 = 0, et l’on a