CRE

ici la fonction sous le signe f. est discontinue au point æ—4—0. Prenons

LS ee F(a) oh da ;

en posant ax = y, il vient

+. Ce [ bee co} ds Î[ sin y dy,

de même l'intégrale

le signe devant la seconde intégrale étant le signe de x, car les limites de la nouvelle intégrale sont 6 et + «, ou o ét — +, suivant que x est positif

K : £ 4 œ F* È ou, négatif. On a vu plus haut (n° 92) que l'intégrale * nu dy est à 0

une quantité positive N. L'intégrale considérée est donc égale à = N, suivant le signe de «. En appliquant à cette intégrale la formule (43) 0 on

arrive à l'égalité + co F'(a) = f cosaæ dx,

dont le second membre n’a aucun sens. | 2?— y? ; »

(a+ y2}? et appliquons-lui

la formule (44), les limites des deux intégrations étant o et 1: on obtient

Considérons encore la fonction f(x, y ) —

ainsi légalité

16 fa LS Hp à f' RES AS Se (46) ee En) y= f J J. (2

Une première intégration nous donne

Lo) = s CAE D 247) 0 WADE

et le premier membre de l'égalité a pour valeur —: En opérant les intés 4 |

grations dans l’ordre inverse, on trouve de même pour valeur du second

membre — —. L'absurdité du résultat tient à ce fait que la fonction f(x, y)

est discontinue pour le point æ = y = 0, situé sur la frontière du domaine considéré (voir plus loin n° 136).

100. Intégrales uniformément convergentes.— Ün peut cepen= dant appliquer les formules (43) et (44) dans des cas plus génés -raux que ceux qui ont été considérés dans la démonstration. Soit f(x, «) une fonction continue des variables x et x, lorsque xest supérieur à un nombre «a et que * reste compris entre 9 êt ue

S1 l'intégrale 1. f(x, +) dx tend vers une limite lorsque / aug: : | mente indéfiniment, quel que soit «, cette limite

(47) F(x) = f(x, à) dx a estune fonction de # quin’est pas nécessairement continue, comme le prouve un des exemples cités tout à l'heure. Nous dirons que l'intégrale (47) est uniformément convergente si à tout nombre positif : on peut faire correspondre un autre uombre L tel que l’on ait