LIT
pourvu que l’on ait {ZL, ce nombre L étant le même pour toutes les valeurs de à dans l’intervalle (4, %, ). La fonction
a+n Ph(a) = f tr, aÿde,
V. — DIFFÉRENTIATION ET INTÉGRATION. 237 où x est un nombre entier positif, tend donc uniformément vers sa limite F(«), lorsque » croît indéfiniment, et par suite F(«) est une fonction continue de &.
Supposons maintenant que l'intégrale obtenue par la règle habi-
tuelle de différentiation sous le signe
| " NP | (49,) Fi(a)= f dx
ail un sens et soit elle-même uniformément convergente dans l’intervalle (4, 4), La fonction
a+n Of LA — À dd.
F,(a) Î dx
tend uniformément vers sa limite F,(x); or, on a, quel que 0 . of soit n, aa) — Pr (2) ] si = est continue. Parssuite, PF, (a) est la dérivée de F(«) (n° 31).
Ainsi, on a le droit d’appliquer à l'intégrale (47) la formule habituelle de différentiation sous le signe Je pourvu que l’inté-
grale obtenue de cette façon soit uniformément convergente. De même, si f(x, «) est infinie pour la limite x — a de l’intégration, on dira que l’intégrale
b (50) F(a)= f. f(æ, à) dx VUE AS
est uniformément convergente si, à tout nombre positif e, on peut faire correspondre un autre nombre posiuf r, indépendant de »,
tel que l’on ait a+h
À f(æ, a) de
pour toutes les valeurs positives de h, inférieures à n. On peut encore appliquer à l’intégrale (50) la formule habituelle de diffé-
Fr
renlialion, si l'intégrale obtenue ainsi est uniformément convergente; la démonstration est analogue à la précédente.
On peut de même étendre la formule d'intégration sous le signe | au cas où l’une des limites est infinie. Soit f(x, «) une
fonction des deux variables x et «, continue pour +24, to SA a.
+ je - Fe Se l’intégrale f f(x, «) dx estuniformément conver gente
dans l'intervalle (45, 4), on a
+ Xs œ: + co à | (51) fs dx f(x, à) da = da | f(x, &)dz.
“ 0 Xo a Ê
a (4 Soit {un nombre quelconque supérieur à &; d’après la formule générale (44), on a
CA CA l (52) [ dx FL) 4) 44 = f aa f. J(æ, a) &x.
0 Xo °°a - 4
re L 4
Lorsque / augmente indéfiniment, le second membre de cette éga-
lité a pour limite en + œ© : a » à : “410 .
f du [ J(r, à) dx, ‘1 CA a
car la différence entre ces deux expressions est égale à
