V. — DIFFÉRENTIATION ET INTÉGRATION
si l'est supérieur à —; le premier membre de cette inégalité sera inférieur
à «, quel que soit «20. Donc la fonction F(4) est continue pour 420. L'intégrale obtenue par la différentiation est uniformément convergente pour toutes les valeurs de x supérieures à un nombre positif £. On a,en
effet, + ©
: L f e-%x sin x dx | < e-ax dx = -e-%l, L ./1 5
LE
et il suffit de prendre / assez grand de façon que l’on ait kek! => - pour €
que la valeur absolue de cette intégrale soit inférieure à <, lorsque « est supérieur à #. On a donc Fa) =— [l erax sinx dy;
l'intégrale indéfinie s'obtient aisément, et l’on trouve
F'{a) [e-Xx(cosx + asinx)|+* — I UE ————————————————— LE 3 1 + a? 0 1 + 42?
on tire de là
F(x) = G — Arctangz,
et l’on détermine la constante C en remarquant que l'intégrale définie F(«)
. (One
tend vers zéro lorsque x croît indéfiniment, ce qui donne C —
Dia
donc en définitive
$ sinæ I (53) fé erxx dx = Arctang -:
Cette formule n’est établie que pour les valeurs positives de 4, mais on à remarqué que F(x«) est une fonction continue de «x, même pour 4 = 0. En faisant tendre « vers zéro, il vient donc à la limite
. | —+ , (54) SAT Re 0 WA 2
fé ure dire
0 Va — x
la fonction f(x) étant continue, ainsi que f(x), dans un intervalle (o,&), et à étant compris dans cet intervalle. La formule habituelle de différentiation conduit à un résultat illusoire, car on obtient la différence de deux infinis. En posant x = at, il vient
ve Va f(at) dt.
FCo = f Ts
l'intégrale obtenue par différentiation
THARTE CR é Va fait) 2 Va
—— dt 0 Le
est uniformément convergente dans tout intervalle (ao; &1), do et «1 étant
Le PL , 3 ee M dt positifs et inférieurs à a, car elle est comparable à une intégrale
M étant un nombre fixe. En revenant à la variable æ, on a donc
F'(a) = f@)+re fa),
Proposons-nous, comme application, de déterminer la fonction f(x) de façon que la fonction F (x) soit indépendante de x. La dérivée F'(x) doit être nulle, ce qui ne peut avoir lieu que si Ja fonction Jf(x)+ 2xf'(x)est nulle identiquement, du moins si l’on admet que cette expression n’admet
pas une infinité de zéros dans le voisinage de l’origine. Cette condition peut s’écrire
RER hE ms :
OMETISS C . à Far et l'on entire f(x) = PS Cette fonction répond bien à la question; on æ
a, en effet,
comme on le voit aisément au moyen de la substitution + = a sin? o.
101. Théorème de D’Alembert. — Si, en caleulant séparément les deux membres de la formule (44), on arrive à des résultats différents, on doit en conclure que la fonction J(æ, y) est discontinue pour un système au moins de valeurs de x et de J, vérifiant les conditions a£x£<b,c=y<æ
Gauss a déduit de cette remarque une démonstration très simple du théorème de D’Alembert,
Soit F(z) un polynome entier en 3 de degré m, dont nous supposerons, pour fixer les idées, les coefficients réels. En remplaçant z par
p(cosw + isinw),
et séparant les parties réelles et les parties imaginaires, on peut écrire
F(3) = P 30, en posant P = Asp" cosmuw + A pi cos(m — 1)w +...,
Q = Aop”? sin mw + A1971 sin(m —1)wù +...
