V. — DIFFÉRENTIATION ET INTÉGRATION

à P Soit V la fonction arc tang NÉ on à

eue oP Ô OV * op de CNRS 00 0 10 du CAT. Or5e daplede Pit. OT

et, sans qu'il soit nécessaire de développer le calcul, on voit que la dérivée

seconde est de la forme

CEA dp dw 22V M

dp dw — (P?+ Q:}

M étant une fonction continue de p et de w. Cette dérivée seconde ne peut devenir discontinue que pour les systèmes de valeurs (p, w) qui annulent à la fois P et Q, c’est-à-dire pour les racines de l'équation F (a) = 0, S1 donc on démontre que les deux intégrales

2H R R 2 o2V oV (55) 1 re ere JE d AA ee 76 o 900 ? : ef dp dw

sont inégales, pour une valeur donnée de R, on peut en conclure que l'équation F(3) — o a au moins une racine de module inférieur à R, Or la

02 V OV ]w=27 seconde intégrale est toujours nulle, car on a f. ——— do = | ? à 09 dw 00 |w=0 OV et a est une fonction périodique de w, de période 2x. Calculons de même

la première intégrale; on a R * f O?V te ——— do Move ?

Jo 2200 du Jp=0

OV et un calcul facile montre que as Cst de la forme

OV —mAÎpm+.., a ———) du Agom+...

les termes non écrits étant de degré inférieur à 2m en ep, et le numérateur n'ayant pas de terme indépendant de p. Lorsque p augmente indéfiniment, le second membre a pour limite — m; on peut donc choisir R assez grand

pour que la valeur de dei pour p = R, soit égale à — m + €, € étant infé-

2T rieur à » en valeur absolue. L'intégrale f (— .m —+e) dw est évidem-

ment négative et, par conséquent, la première des intégrales (55) ne peut être nulle.

mi R 16

a I I Lee 1. Démontrer que la somme 7 Te limite logo,

lorsque n augmente indéfiniment.

dx Leg}

‘On prouve que cette somme a pour limite l'intégrale définie / | 0