II. — FONCTIONS. — GÉNÉRALITÉS

Les deux fonctions f(a) + P(x) et N(x) étant croissantes, on en conclut que toute fonction à variation bornée est la différence de deux fonctions croissantes, Cette propriété pourrait être prise pour définition; en effet, la différence de deux fonctions croissantes est égale à la somme d’une fonction croissante et d’une fonction décroissante, c’est-à-dire de deux fonctions à variation bornée. Elle est donc elle-même à variation bornée.

Si l’on ajoute aux deux fonctions croissantes P(x), N(x) une fonction croissante quelconque w(x), les deux fonctions P;(x), Ni(+) ainsi obtenues sont aussi des fonctions croissantes et leur différence n’a pas changé; on voit donc que toute fonction à variation bornée peut être considérée, d’une infinité de manières, comme la différence de deux fonctions croissantes. Une fonction monotone n'ayant que des points de discontinuité de première espèce, il en est de même de la somme de deux fonctions monotones;, par suite, {oute fonction f(x) à variation bornée n'a que des points de discontinuité de première espèce.

Comme exemple de fonction à variation non bornée, reprenons la fonc-

; é PT . LÉ

tion f(x) = Sin—, en convenant de poser f(0) = 0. La variation totale de =

cette fonction dans l’intervalle compris entre lés inverses des deux

T T / . . ’ x nombres — et aT + — est égale, comme il est facile de le voir, à 27. La 2 2

fonction est donc à variation illimitée dans l'intervalle o,2); ce qui T

résulte aussi de ce fait que x = o est un point de discontinuité de seconde espèce.

Considérons maintenant en particulier une fonction continue f(x) à variation bornée (1). Lorsque le nombre n augmente indéfiniment, de facon que la valeur maximum À des différences xi—x;1 tende vers zéro, le nombre + a pour limite la variation totale V.

La démonstration repose sur la remarque suivante. Supposons qu’on subdivise chacun des intervalles (&, æ1), (æ1, #2), ... en intervalles plus petits par de nouveaux points de division, et soit

dd, ÿJi: Ÿÿ 2; CON ES CRR ATEN ENT EN ET A ETS E NUS ET eos b

la nouvelle suite obtenue; le nouveau mode de subdivision est dit consécutif au premier. Soit #’ le nombre analogue à » pour cette nouvelle division. On a évidemment

PAG SAM IS fai) — Fri) | a+ lf(yi) —f(ae) | D (ai) ca) fr) | +. RPG ne ge SOAE

et par suite ?

(1) Une fonction continue n’est pas nécessairement à variation bornée. La fonction continue citée plus loin (n°33) est à variation illimitée dans tout intervalle.

PO

Cela posé, soient V la borne supérieure des nombres et : un nombre positif quelconque. D’après la définition même du nombre V, il existe une suite de nombres croissants

CE Er RE AIN pra EU) tels que le nombre #,

= |f(a)—f(a)| + |f(as) — fa) 14... + 1/6) — far),

soit supérieur à V — -: Soit À un nombre positif plus petit que toutes les

différences a; — à, a» — &1, ..., b— ay. Considérons une division quelconque de l'intervalle (a, b) en intervalles partiels moindres que À par des nombres croissants &@, æ1, Æo, -.., ©n-1, 0, et soit v la variation corres— pondante, Rangeons maintenant tous les nombres x; et a; par ordre de grandeur croissante; nous obtenons une nouvelle division de l'intervalle (a, b) qui est consécutive aux deux premières, et par suite la variation correspondante v' est supérieure ou au moins égale à #, et à p.

Cherchons une limite supérieure de #'— 0. On passe de la division qui donne # à la division qui donne s’ en décomposant quelques-uns des intervalles tels que (æ;-1,æ;) en deux intervalles plus petits au moyen de l’un des points &1, &:, ..., ap1. Le nombre total des intervalles qu'on décompose ainsi en deux est au plus égal à p—1,et l’on a

p — y MIE Ver — far) | + [f(are) = fer MONET

le signe > étant étendu à tous les intervalles (xæ;1, æ;) tels qu'entre æ;1

et x; se trouve un des points ax. Soit w la valeur maximum de l’oscillation de f(x) dans chacun des intervalles partiels (a, æ1}), (æ1, æ>), .... Al est clair que la différence

Are ar) le | Car) ME CEA — (TE

est au plus égale à 2w, et par conséquent #’ — » est au plus égale à 2(p—1)w. La fonction f(x) étant continue, soit n un nombre positif tel que, dans tout intervalle partiel d'amplitude inférieure à n, l’oscillation de f(x) soit

[si inférieure à IRD) Si la valeur maximum À des différences æj — @1, pe

Late à û € La — V1, ..., 0 — Tr est inférieure à n, on aura d’après cela pt #2

D'ailleurs, nous pouvons écrire la différence V — +, a Ar T f !

et par conséquent on à V—v<e; comme v ne peut être supérieur à V, e a donc pour limite V. |