Soit f(x) une fonction continue et RE dans ni (a, b

Le produit des deux intégrales définies [°° f(x) dx [+ VE OL minimum

lorsque la fonction est constante,

AU L'oe . . = - :

12. Soit | l'indice d’une fonction (n° 79) entre #, et #1. On a la relation

d'4 "1 I Lee où e=-+1 lorsque f(20)>0, fai) <o, e=—1 lorsque fa) <0,

f(æ)> 0, € = 0 lorsque f(x) et f(æ1) ont le même signe. On applique la formule de la page 189 aux deux fonctions f(æ)

+13. Soient U et V deux polynomes de degrés n et n —1 premiers entre eux. L'indice de la fraction rationnelle TU’ entre les limites — et + de la variable, est égal à la différence entre le nombre des racines imaginaires de l’équation U + ëV = 0, où le coefficient de £ est positif, et-le

nombre de ces racines où il est négatif.

[Henmire, Bulletin de la Société mathématique, t. VII, p. 128.]

*14. Établir le second théorème de la moyenne au moyen d’une intégration par parties.

Soient f(x) et o(x) deux fonctions continues dans l'intervalle (@, b) dont la première f(x) est constamment croissante ou constamment décroissante et admet une dérivée continue. On a, en posant

D(æ) = [ed

et intégrant par parties,

b b IMOFOLENOLOE MIOLOr

la dérivée f'(x) ayant un signe constant, il suffit maintenant d’appliquer la première formule de la moyenne à la nouvelle intégrale.

*13. Soit f(x) une fonction continue positive dans l'intervalle (@, b). L'expression : 1 n

K = | J Lier a

tend vers le maximum M de f(x) dans l'intervalle (a, bd), lorsque nr augmente indéfiniment. [ Riez.]

R. On peut, pour la démonstration, supposer b — a =1. Îl est évident alors que l’on a 1, < M. D’autre part, si f(x) est supérieur à M — e dans un | 1

intervalle (x, f), on a aussi 1,> (M—e)(B— a)", d'où l’on conclut aisément qu'en prenant A assez grand, on a aussi J, > M — 2e.

EVE V7 s | “

16. Étant données deux courbes planes quelconques G, C', on fait correspondre les points (æ, y), (x', y') des deux courbes où les tangentes sont parallèles. Le point de coordonnées æ,= px + qgæx', Yi = py + qy", où p et g sont des constantes données, décrit une nouvelle courbe G;, et l'on a, entre les arcs correspondants des trois courbes, la relation

HS EN.