STEINER
Pour démontrer ces théorèmes par l’analyse, soient X, Y les coordonnées du point À par rapport à un système d’axes mobiles formé par la tangente et la normale en un point M de C, s l’are OM compté à partir d’un point fixe O de C, et w l’angle des tangentes en O et en M. On établit les relations
ds + dX = Y du, dY + X duw = 0, d’où les propositions se déduisent.
: + © Q + 00 d 20. Les intégrales f | lle où n>1, f CPR ee TS
LA
0 (1+x?)(sinx)
ont-elles des valeurs finies?
Il est, en général, très difficile de calculer la valeur d’une intégrale définie, en partant de la définition (!), tandis que l'intégrale s'obtient immédiatement, quelles que soient les limites, quand on connaît une fonction primitive de f(x). On a vu, en Algèbre (2 h comment on trouve les fonctions primitives des fonctions rationnelles, et de celles qui s’y ramènent par un changement de variable, comme les fonctions rationnelles de + et d’un radical carré portant sur un polynome du second degré, et les fonctions rationnélles de sinæ et de cos x. Ce calcul n’exige que la résolution d’une équation algébrique, et l'intégration d’une fonction rationnelle n’introduit qu'une seule transcendante, le logarithme, car nous verrons plus loin (1. IT) que la fonction Arctangæ se ramène à la fonction logarithmique. -
En dehors de ce cas très nn. l'intégrale née PR fon uion algébrique f(x) est, en général, une fonction transcendante, qui ne peut s'exprimer par une combinaison en nombre fini de symboles élémentaires. L'étude des propriétés de ces transcendantes et leur classification sont un des objets les plus importants du Calcul intégral. Au point de vue du calcul pratique des inté= grales définies, il y a un intérêt évident à réduire ces transcendantes nouvelles au plus petit nombre possible, afin de pouvoir
En D
(*) Voir l'exemple du n° 70 et les exercices 3 et 6 du Chapitre IŸ (*) Voir, par exemple, les Leçons d’Algèbre de Ch. Briot, 2° Partie, 18° édition revue par E. Goursat (Paris, Delagrave: 1905).
