INTÉGRALES INDÉFINIES
dresser des Tables de leurs valeurs numériques pour des valeurs suffisamment rapprochées de la variable.
‘102. Formule générale de réduction. — Dans l'intégration des fonctions rationnelles et de quelques autres fonctions, on a souvent l’occasion d’appliquer la méthode générale de réduction suivante. Rappelons d’abord que toute fonction rationnelle R(x) peut être décomposée en une partie entière E(x) et une somme
de fractions rationnelles de la forme <=’ X étant premier avec sa dérivée et avec À, et ce dernier polynome étant de degré inférieur à X”. Si l’on connaît les racines du dénominateur, on peut prendre pour X un binome du premier degré, provenant d’une racine réelle, ou un trinome du second degré, provenant d’un couple de racines imaginaires conjuguées. Mais cette décomposi-
tion de la fraction rationnelle R(x) en une somme de fractions de
À la HE à KA n’exige pas que l’on connaisse les racines du dénomi-
nateur, et peut être obtenue par des opérations rationnelles, multiplications et divisions de polynomes. Seulement les polynomes X peuvent être de degré quelconque, chacun d’eux étant le produit des facteurs binomes qui correspondent aux racines du dénominateur de R(x) d’un même degré de multiplicité. Le calcul d’une intégrale indéfinie de la forme | R(æ)o(x) dx, R(x) étant une fonction rationnelle et (x) une fonction quelconque, se ramène donc au calcul de deux types particuliers d’intégrales
fECe) ete) de, [RE de.
Lorsque x est >1, on peut, dans bien des cas, remplacer la seconde intégrale par une intégrale de même forme, où l’exposant de X au dénominateur est diminué d’une unité. |
En effet, X étant premier avec sa dérivée, d’après un théorème classique d’Algèbre, on peut trouver deux autres MACON B et C donnant lieu à l'identité
BX + CX'— A, et nous pouvons écrire
A o(x) dx PRET OX - FD a Aie LT LORS = [9 o(æ ) dx Xa—1 da X" He,
248 CHAPITRE .V. — CALQUL DES INTÉGRALES DÉFINIES. Intégrons par parties la dernière intégrale, en posant
u=Ggp(x), "Tr
il vient
Gites Ce(æ) [Ge(x)]' ferrée CX2 Tr nr" — JS Xn—1 dx,
et, en portant dans la relation précédente, on a
Dore pie Aw(æx) Co(x) (1) dE X2 dx = ee 1 Te
Il peut se faire que cette formule de réduction (1) soit avantageuse pour certaines formes de la fonction ©. Supposons par exemple og(xæ)=e"%*, w étant un facteur con-
stant. Une intégrale [R(œ)s dx se ramène à une intégrale
que l’on sait calculer f P(æ)e* dx, P(x) étant un polynome
(n° 87), augmentée d’une somme d’intégrales de la forme
À ewx dx (2) ce
La formule générale de réduction (1) devient dans ce cas
a NE C ewx va n —1 { ) XA PET (n A 1)X7—1 Xn—1
et le calcul de l'intégrale (2) est ramené au calcul d’une intégrale de même forme, où l’exposant de X est diminué d’une unité. En continuant de la sorle, on est conduit à une intégrale
fs B ewx dr x 2
où l’on peut toujours supposer B de degré inférieur à X, augmentée d’une partie toute intégrée de la forme
o(æ) enùx XA2—1 :
o(x) étant un polynome.
I. — INTÉGRALES INDÉFINIES. 249 Considérons maintenant une fonction rationnelle quelconque
| — où f(x) est premier avec F(x).
Supposons cette fonction rationnelle décomposée en une partie
.. et Le , À , ‘2 entière E et une suite de fractions Tr’ X étant premier avec sa
dérivée ; Imaginons qu’on applique la méthode précédente à chacune de ces fractions, qu’on ajoute les résultats obtenus ainsi que
l'intégrale fe%E(z) dx ; on obtiendra finalement une identité
de la forme
; x JC) æ) oz PE) wz QC?) dr 4 Je M Mein te)
V(x) étant le plus grand commun diviseur entre F(x) et sa dérivée, U(zx) le quotient de F(x) par V(x), P(x) et Q(x) deux polynomes. Si l'équation F(x) = 0, de degré n, a r racines disünctes, Ü est un polynome de degré r premier avec sa dérivée, V est de degré 7 — r, et ces deux polynomes s’obtiennent par des opérations rationnelles. Quant au polynome Q(x), on peut tou- Jours le supposer de degré au plus égal à r — 1. Les deux poly- nomes P et Q s’obtiennent aussi par des opérations rationnelles. En effet, égalons les dérivées des deux mémbres de l'identité (4); il vient, après avoir multiplié par UVe-vr,
(5) fe) = w PU + PU — PE + QV.
Soit p le degré inconnu du polynome P. Le produit V'U est divi- Sible par V, d’après la définition des polynomes U et V, et,. Si w < 0, l'ensemble des trois premiers termes du second membre est de degré pr. Quant au produit QV, il est au plus de degré 7 —1. Cela posé, deux cas sont à distinguer suivant le
degré m de f(x) :
°Silonam>n—1, on doit avoir forcément p+r—=m\; m0 SI MmSn—]I, On à aussi p+r£Sn—I et, par suite, < »
Connaissant ainsi une limite supérieure des degrés des deux polynomes P et Q, on n’a plus qu’à identifier les deux membres de la relation (5). Les coefficients inconnus sont déterminés par
des équations linéaires, dont le nombre, il est aisé de le voir, est égal au nombre des inconnues.
La méthode s'applique encore pour — 0. Supposons, pour simplifier, m£n—1,ce qui est évidemment permis. On voit alors aisément que le degré du second membre de (5) serait supérieur à n — 1 si le degré p de P(x) était supérieur à n — 7. SiP(x) est de degré n —7r, on peut évidemment, en retranchant une con-
stante convenable, remplacer la fraction rauonnelle + par une
4 : P ’ fraction rationnelle En dont le numérateur est, au plus, de
degré r? — 7 — 1, et la conclusion est la même que tout à l'heure. Dans ce cas particulier où © = 0, on a ainsi obtenu, par des calculs rationnels, toute la partie Fa | de l'intégrale indéfinie d'une fonction rationnelle. Il est clair, en effet, que l’intégrale
Q(æx) dx Utæ)
LE
où Q(x) est de degré inférieur à celui de U, et U premier avec sa dérivée, ne renferme que des termes transcendants. On ne peut pousser plus loin le calcul sans décomposer U en un produit dé facteurs de degrés moindres, sauf dans le cas où Q(x) serait, un facteur constant près, la dérivée de U(x). Pour que l’ née d’une fonction rationnelle soit elle-même une fonction rationnelle, il faut et il suffit que Q(x) soit identiquement nul.
Si w est différent de zéro, on ne peut plus simplifier l'intégrale Je mais, si l’on connaît les racines de U, on peut ramener celte intégrale à une seule transcendante nouvelle. Supposons, pour fixer les idées, toutes les racines réelles ; l'intégrale se décompose en plusieurs intégrales de la forme
a eUx dx $ PR, 2 SE Lo er dd,
que l’on peut ramener à l’une ou l’autre des formes suivantes, en
posant x = a +2, u—eY, et faisant abstraction d’un facteur
= du” | V | logu. Le
constant,
est une fonction transcendante
- a du Cette dernière intégrale log u
qu’on appelle logarithme intégral.
103. Courbes unicursales. — Considérons maintenant d’une façon générale les intégrales de fonctions algébriques. Soient
(6) | HR re 0
l'équation d’une courbe algébrique, et R(zx, y) une fonction rationnelle de x et de y; imaginons que dans R(x, y) on remplace y par une des racines de l’équation (6); le résultat est fonction de la seule variable x et l’intégrale
FRE y dr
est une {ntégrale abélienne attachée à la courbe (6). Lorsque la courbe donnée et la fonction R(x, y) sont quelconques, ces intégrales sont des fonctions transcendantes. Mais, dans le cas particulier où la courbe est unicursale, c’est-à-dire où les coordonnées æ et y d’un point de cette courbe peuvent s'exprimer par des fonctions rationnelles d’un paramètre variable £, les intégrales abéliennes attachées à cette courbe se ramènent immédiatement à des intégrales de fonctions rationnelles. Soient, en effet,
æ = f(t), y = (ét)
les expressions des coordonnées x et y en fonction de t; en prenant { pour nouvelle variable indépendante, on a
PRG») de = [REC e(01.F (0) dr,
et la nouvelle fonction à intégrer est évidemment rationnelle.
On démontre dans les Cours de Géométrie analytique que
toute courbe unicursale de degré n possède points
doubles, et que réciproquement toute courbe de degré n7 possédant ce nombre de points doubles est unicursale, Je rappellerai seulement comment on peut obtenir les expressions des coordonnées
-en fonction du paramètre auxiliaire. Étant donnée une courbe C,
à points doubles et n — 3 points simples de C, faisons passer un
faisceau de courbes de degré n — 2; ces points déterminent bien
un faisceau de courbes de degré n — 2, car |
de degré n, possédant à — points doubles, par ces
(RUES) RE (7 — a) (RSS 2 2
(n—2)(n +1) degré n —2.SoitP(x, y) +tQ(x,y) = 0 l'équation des courbes de ce faisceau, £ désignant un paramètre arbitraire ; chaque courhe
-et 1] faut points pour déterminer une courbe de
du faisceau rencontre la courbe C, en n(n— 2) points, dont un certain nombre sont indépendants de #, les » — 3 points simples choisis et les à points doubles dont chacun compte pour deux points d’intersection. Mais on a
il reste donc un seul point d’intersection variable avec t. Les coordonnées de ce point sont données par des équations du premjer degré dont les coefficients sont des polynomes entiers en £:; ces coordonnées sont donc elles-mêmes des fonctions rationnelles de £. On pourrait aussi employer un faisceau de courbes de degré n —1
passant par les points doubles et 2 n — 3 points
simples pris à volonté sur C,.
TT — I 102 A )( bits
SE, fa
0; toute courbe du second (nn —1)(n— 2)
courbes unicursales du troisième degré sont donc celles qui ont
degré est donc unicursale. Si » —3,ona ES Un
un point double. Le point double étant pris pour origine, l’équauon de la cubique est de Ja forme
P3(T, Y)+wp(r, y)=0,
#2 €t ©3 étant des polynomes homogènes d’un degré marqué par leur indice. Une sécante y — {x passant par le point double rencontre la cubique en un seul point variable avec t, dont les coor-
I. — INTÉGRALES INDÉFINIES. 253 données sont Bee ne OR ___ dtpo(rst) 23(1, t) w3(1, 6)
Une courbe unicursale du quatrième degré possède trois points doubles. Pour avoir les coordonnées d’un point, on formera l’équation d’un faisceau de coniques passant par les trois points doubles et par un autre point simple pris à volonté sur la courbe. Chaque
conique de ce faisceau rencontre la quartique en un seul point
variable avec le paramètre ; si l’on forme, par exemple, l'équation aux abscisses des points d’intersection, cette équation, débarrassée des facteurs qui correspondent aux racines connues, se réduira au premier degré et donnera x en fonction rationnelle du paramètre. On opérera de même pour y.
Prenons par exemple la lemniscate
qui a un point double à l’origine et qui admet en oulre pour points doubles les points circulaires à l'infini. Un cercle passant par l’origine et tangent en ce point à une des branches de la lem-
niscate a+ y?= (x —7)
rencontre cette courbe en un seul point variable avec t. Une combinaison facile de ces deux équations donne
P(x—y}= a (x — 7°), et, en divisant par x — y, 1l reste Br ECS);
cette dernière équalion représente une droite passant par l’or1igine, qui coupe le cercle en un point différent de l’origine, dont les coordonnées sont
a?t(t2+ a?) nc a?t(t?— a?)
TX —= — Ha ? ge 9 D
On arrive encore-plus vite à ces formules par la méthode suivante, qui est applicable à toute courbe unicursale du quatrième ordre dont on connaît un point double. Coupons la lemniscate par la
sécante y — Àx ; elle rencontre la courbe en deux points de coor-.
données
Se mu FPT RER
Le polynome sous le radical est du second degré et, pour faire
(Re: a \ 2 ë me » CE qui
Remarque j'a Lorsqu’une courbe plane admet des points singuliers d'espèce supérieure, on démontre que chacun d’eux est équivalent à un certain nombre de points doubles distincts. Pour
qu'une courbe soit unicursale, il suffit que ses points singuliers , (A—1)(n—0)
disparaître l’irrationalité, il suffira de poser
conduit bien aux formules précédentes,
soient équivalents points doubles, Par exemple,
une courbe de degré » ayant un point multiple d'ordre 7 — 1 est unicursale, car une sécanté issue du point multiple la rencontre en un seul point variable.
Remarque II. — Il peut se faire que l’on ait sous le signe
une fonction rationnelle de x et de plusieurs irrationnelles dis- LinCLe he Ton démontre, en Algèbre, que toules ces irrauonnelles peuvent s’exprimer au moyen d’une seule irrationnelle auxiliaire. Supposons, par exemple, que l’on ait l'intégrale
JR, So Be RS 2e
R étant une fonction rationnelle et les exposants «, a, æ, ..,
étant des nombres fractionnaires. La fonction R ne contient, en
réalité, qu’une irrationnelle zx”, D désignant le dénominateur commun des fractions à, «!, &’, ... réduites au même dénomina-
teur, et 1l suffit de poser + — 4? pour être ramené à une fonction rationnelle.
104. Intégrales algébrico-logarithmiques. — Toute intégrale abélienne attachée à une courbe unicursale est, d’après le paragraphe précédent, une fonction algébrico-logarithmique, c'està-dire qu’elle est égale à une fonction rationnelle de x ét de # augmentée d’une somme de logarithmes de fonctions rationnelles
de æ et de y multipliés par des facteurs constants. Lorsque -la courbe (6) n’est pas une courbe unicursale, une intégrale abélienne attachée à cette courbe est, en général, une fonction transcendante qui ne peut s'exprimer au moyen de la seule transcendante logarithmique. Cependant, quelle que soit la relation
F(x, J)=0; il existe toujours une infinité de fonctions rationnelles R(x, y) telles que l’intégrale fR(&,r) dx soit algébrico-logarithmique,
car la dérivée d’une fonction de celte espèce est toujours une fonction rationnelle de æ et de y. La fonction R(x, y) étant donnée, il est en général très difficile de reconnaître si l'inté-
joue HUE, dx est une fonction algébrico- logarithmique. Il- 4 q
en est ainsi en particulier lorsqu'une substitution MSG é
mais non forcément rationnelle, permet de ramener . R(x, dde
à une différentielle rationnelle. | Nous citerons comme exemple les différentielles binomes
æm(axt+ bb)? dx,
où m, n, p sont commensurables. Il est clair que la relaion y—z"(ax" + b)P peut être remplacée par une relation algébrique entière en æ et y, F(x, y)—0, qui ne représente pas, en général, une courbe unicursale. | Cette be est unicursale si p est un nombre entier. En effet, en désignant par D le dénominateur commun des deux nombres m el x, il est clair qu'en posant æ — {", y sera aussi une fonction rationnelle de 4. Mais ce n’est pas le seul cas où l’on puisse faire disparaître l’irrationalité et achever l'intégration. Pour découvrir de nouveaux cas d’intégrabilité, essayons du changement de
variable axt+ b—=t; il vient
la nouvelle intégrale est de même forme que la première, et l'ex
. + I posant qui remplace p est ici — 1; on pourra donc achever.
hs Ÿ À est un nombre entier.
NASA N J .m l intégration si D'autre part, l’intéerale peut s’écrire autre part, 9 P
fæmrnp(a + bæx-n)p dx,
et l’on voit qu’on a un nouveau cas d’intégrabilité lorsque
M + np + I Mm + I , , r MR EbRT ee + est un nombre entier. En résumé, on an
peut effectuer l’intégration lorsque l’un des trois nombres P;
USE EAN SES 2?
tégrale s'exprime au moyen d’un nombre fini de symboles élé-
+ p est entier. Ces trois cas sont les seuls où l’in-
mentaires lorsque m, n, p sont commensurables.
Pour effectuer l'intégration lorsqu'elle est possible, il est commode de ramener d’abord l'intégrale à une forme plus simple où ne figurent que deux exposants. Posons pour cela ax" — bt; il vient
mn +1 ,
PRE mt
fantaan+ birar= (2) LE 4 n \a
En faisant abstraction du facteur constant et posant
TC OPAR
M + I “+ Ra ra
na
on est conduit à l'intégrale
fua + t}r dt,
et les cas d’intégrabilité sont les suivants : l’un des trois nombres p, q, p + q doit étre un nombre entier.
re
Si P est entier et {—:;:0n posera {—u*; s1 q est entier
ce fa .
EL P—:;0n posera de même 1+#—uw. Enfin, si P + g est
entier, on peut écrire l'intégrale
fus (: e “)" de
et l’on n’a qu’à poser 1 + — Lu’, en supposant p — => pour faire disparaître l’irrationalité.
De , Prenons par exemple intégrale
fa dr:
HIT EE Domi, RS, p—;, :
cas d’intégrabilité. En posant d’abord x?— l, on est conduit à la nouvelle intégrale |
et 1l suffira du nouveau changement de variable 1 -- 5 — tuÿ, pour faire disparaître le radical.
+ p =1. On est donc dans un
105. Réduction des intégrales elliptiques et hyperelliptiques. — Soit P(x) un polynome entier de degré p, premier avec sa dérivée, Une intégrale
JREe VC] dr
où R désigne une fonction rationnelle de x et du radical y — VP(x), ne peut pas en général s'exprimer au moyen des fonctions élémentaires, lorsque le degré de P(x) est supérieur à 2. Ces intégrales, qui sont des cas particuliers des intégrales abéliennes les plus générales, se décomposent en une partie algébrique et logarithmique, et en un certain nombre d’intégrales spéciales qui constituent des transcendantes nouvelles qu'on ne peut exprimer au “moyen d'un nombre fini de symboles élémentaires, Nous allons exposer cette réduction.
La fonction rationnelle R(x, y) est le quotient de deux poly- …nomes entiers en x et en y; en remplaçant une puissance paire “ de y, telle que y*7, par [P(x)]?, et une puissance impaire, telle que y°1*!, par y[P(x)]f, on voit qu'on peut supposer les deux termes de la fraction du premier degré en y,
LAS ANS CDS À, B, C, D étant des polynomes entiers en x. En multiphant les DE | 17
deux termes par GC — Dy et remplaçant de nouveau y? par P(x), on peut encore écrire
et l'intégrale considérée se partage en deux autres, dont l’une
JE — est l'intégrale d’une fonction rationnelle et dont la seconde
Gy . . dx, qui peut s’écrire [ M dx TT pr J NVP(x) M et N étant deux polynomes entiers en æ, doit seule nous
7 . . M A a L4 occuper. La fraction rationnelle N peut être décomposée en une
