partie entière E(x) et en une somme de termes fractionnaires
chaque polynome X; étant premier avec sa dérivée. On n’a donc à considérer que deux sortes us
Pam dx À dx mm RE ÿ — | VP(x) Xe PC) Les intégrales Yh s'expriment toutes au moyen des p —1 premières Y5, V1, .…, Yp 2, et de quantités algébriques, siP(x) est de degré p.
Soit, en effet,
P(æ) = rl + a; PO Rtee
On a æm P'(æ1
2 VP(x)
amam-1 P(x) + æ" Po)
2 YP(æ)
Len VC] = menti PTE) +
le numérateur est un polynome de degré m + p —1 dont le termes de degré le plus élevé est (2m + p)aoæ”"*TP"1, Il vient, en inté= grant les deux membres de l'égalité précédente,
am WP(x) = (2m + p)aoYm+pi +.
pe
les termes non écrits contenant les intégrales YŸ d'indice infé- Tieur à M+D—1. Faisons successivement dans cette formule M—0,1, 2,...; nous pourrons calculer de proche en Me TV... au moyen d’un terme algébrique et des p — 1 intégrales Y,, Y,, EE A TE
Relativement aux intégrales de la seconde forme, il y a deux cas à distinguer, suivant que X est premier ou non avec P(x).
19 ST X est premier avec P(x), l'intégrale Z, se ramène à un terme algébrique, à une somme d’intégrales Yz, et à une nouvelle intégrale
B dx RE 0) X VP(x) où B est un polynome d’un degré inférieur à celui de X. Puisque X est premier avec sa dérivée X! et avec Pr), Xr ést premier avec le produit PX’. On peut donc trouver deux poly-
nomes À et 1 tels que l’on ait identiquement À X* + uw XP — A, et l'intégrale se partage en deux autres
À dx À dx u ÿP X' DRE qe EE FR Sy rRnEE dx.
XAVP Cr) JA VE) À La première partie est une somme d'intégrales Y;; sin 1, on peut intégrer par parties la seconde intégrale en posant nt HVP=u o= (n—nDXea?
ce qui donne
EEE __ —pyP I TA 2UP+nuP .
X" T'(n—1)X2- rs na — I 2Xn-1 /P(x)
La nouvelle intégrale est de même forme que la première, sauf Due l'exposant de X est diminué d'une unité. En continuant la … réduction autant de fois que possible, c’est-à-dire tant que l’expo-
…. sant de X est supérieur à 1, on arrivera à un résultat de la forme
f À dx B dx Cdx DyP
= | —© + | —— + =—, Xr YP(x) MVP) of / PM AE
B, C, D étant trois polynomes, et l’on peut toujours supposer le premier B de degré inférieur à celui de X.
2° Supposons que X et P aient un diviseur commun D, de façon que X = YD, P — SD, les polynomes D, S; Y étant premiers entre eux deux à deux. On peut trouver deux polynomes À, u tels que À = ÀD'+ uY”, et, par suite, on peut écrire
Ee 2 À dx if u dx ï X2 VP Ya VP Dr VP
La première intégrale est de la forme de celles dont on vient de
s'occuper; quant à l'intégrale
u dx De YP où D est un diviseur de P, elle se ramène à un terme algéz brique et aux intégrales Y.
En effet, D’ étant premier avec le produit D'S, soient À, et lu deux polynomes tels que l’on ait À, D'+ nu, D'S = y : l'intégrale
considérée peut s’écrire
L be dx ”. À de f LU SD) = = + | - — dx D /P | VP Dr YP
Écrivons la seconde de ces deux intégrales, en remplaçant P
par SD, !
z D (1e 1 ÿS nl Ge
et intégrons par parlies en posant
EE a mn VS, ve
il vient / ? > 7 ie = n—A1 MCE
9 , ; so. L'on C'est encore une formule de réduction ; mais ici, à cause de l’ex-
: : I à : " posant fractionnaire 7 ne ON peut pousser Ja réduction jusqu’au
terme où D ne figure plus qu’à la première puissance au dénomi-
nateur et l’on arrive à un résultat de la forme
eur sK ÿP H dx fi TRANS
H et K étant deux polynomes. En définitive, toute intégrale JL LE NVP
se ramène à une partie
algébrique et à une somme d’intégrales de la forme æm dx X; dx Aa A v49 X YP où m est au plus égal à p — 2, où X est premier avec sa dérivée X et avec P, et où X, est d’un degré inférieur à celui de X. Cette
réduction n'exige que des additions, multiplications et divisions de polynomes.
Si l’on connaît les racines de l’équation X — o, on peut décom-
L] L X poser chacune des fractions rationnelles ge en une somme de frac-
tons simples de la forme
A Bx+cC D a) + EP?
À, B, C étant des constantes, de sorte qu’on est conduit à deux nouveaux types d'intégrales
j! dx (Br +C) dx
DRE eme,” ETS ITR EME RTE PE (æ—a)VP(æ) [æ—a) + 2] VP(æ)
qu'on peut ramener à un seul, le premier des deux, en convenant d'admettre pour le paramètre & des valeurs imaginaires. Les inté-
…… grales de cette forme sont appelées intégrales de éroistème espèce. On appelle intégrales de première espèce les intégrales Y,, où m
: est inférieur à - — 1; les intégrales Y,, où m est égal ou supé- # 2 +
rieur à — 1, sont les intégrales de deuxième espèce. Les intégrales de première espèce possèdent une propriété caractéristique : elles conservent une valeur finie lorsque la limite supé-
rieure de l'intégrale croît indéfiniment ou devient égale à une racine de P(x) (n° 91, 92, 93). Mais la distinction actuelle entre
262 CHAPITRE V. — CALCUL DES INTÉGRALES DÉFINIES. les intégrales de deuxième et de troisième espèce ne doit être acceptée qu’à tilre provisoire. La véritable distinction sera faite
plus tard.
liemarque. — Nous n'avons rien supposé jusqu'ici sur le degré p du polynome P(x). Si ce polynome est de degré impair, on peut toujours augmenter le degré d’une unité. Soit en effet P(x) un polynome de degré 2q —1
PET) = Ao6%29-1+ A,m29-2+., d'A A 291;
I + JR ; posons 4 = a + Si a n'étant pas racine de P(x). Il vient
P(æ)= P(&) + P(a) ++. 4 PET PCA) JAUNES
