II. — FONCTIONS. — GÉNÉRALITÉS

Ce théorème permet de démontrer que la fonction V(x), qui représente la variation totale de f(x) dans l'intervalle (a, x), est une fonction continue de x.

Soient +9 une valeur de x comprise entre & et b,et à, ÿi, Ya, +.» Yn æ, une suite de nombres croissants; V(æ9) est la limite de la variation

Prier (a) [EC OM) SES Le [FCY na) — J(Yn=1) | 7 [f (ao) — f(Yn) |:

La somme de tous les termes, sauf le dernier, ne peut dépasser V(ÿn7) ni par suite V(xo—o), puisque V(x) est une fonction croissante. On a

donc pLV(xzo—0)+|f(ro) — f(Yn)|;

or f(æo)—f(Yn) tend vers zéro puisque f (x) est continue. La limite V(xo) de v ne peut donc dépasser V(xo— 0); comme la fonction V(x) est crois— sante, on a nécessairement V(xo) = V(zo— 0).

Pour démontrer qu’on a aussi V(xo) = V(xo+ 0), posons

D Ni) = VÉO) avr:

Vi(3) représente la variation totale de la fonction f(b — y) dans l'intervalle (0,7). On a donc Vi( yo) = Vi(Jo—0), d’après ce qui vient d’être démontré, et par suite V(xo) = V(xo+o).

La fonction V(x) étant continue, ainsi que f(æ), il en est de même des deux fonctions

VC) + f(æ)—f(a),

N(x) Donc toute fonction continue à variation bornée est la différence de deux fonctions continues croissantes.

Exemple. — Quand une fonction continue f(x) n’a qu'un nombre fini de maxima ou de minima dans un intervalle (&, b), il est clair qu’elle est à variation bornée dans cet intervalle. Considérons, pour fixer les idées, une fonction f (x) croissante de a à a, décroissante de a à @>, croissante de &> à b. Prenons les deux fonctions f\(æ), f2(x), définies comme il suit :

1 Dans l'intervalle (a, æ) : fi(æ)=f(x), fax) = 0; 2° Dans l'intervalle (@1, &2) : f1(x) = f(@1), fa(x) = f(&) — f(æ); 3° Dans l'intervalle (@2, db) : Has NAS aa

AE rer 2).

Il est clair que les deux fonctions f(x) et f:(x) sont continues et croissantes dans tout l’intervalle (a, b), et leur différence est égale à f(x). On opérerait de la même façon, quel que soit le nombre des maxima et des minima dans (a, b), pour décomposer f(x) en une différence de deux fonctions continues croissantes.

né

Plus généralement, soit f(æ) une fonction telle qu'on puisse décomposer l'intervalle (a, b) en p intervalles partiels dans chacun desquels la fonction est monotone, la fonction n'ayant que des points de discontinuité réguliers, en nombre fini. Le procédé précédent permet d'exprimer f(x) par la différence de deux fonctions croissantes n’ayant elles-mêmes que des points de discontinuité réguliers.

12. Fonctions de plusieurs variables. — On dit que w est foncuon de æ, y, 5. ..., t lorsqu’à tout système de valeurs de x, y, 3,..., d correspond une valeur de w. Pour fixer les idées, supposons qu'il y ait deux variables indépendantes x et y, et considérons + et y comme les coordonnées d’un point dans un plan. À tout système de valeurs de x et de y correspond un point M, et inversement. Lorsqu’à tout point M pris dans une certaine région du plan correspond une valeur de w, on dit que la fonction &— f(x, y) est définie dans cette région, qu’on appelle en général un domaine où un champ.

Un domaine À peut être formé par la portion du plan intérieure à une courbe fermée C, ou par la portion du plan limitée par plusieurs courbes fermées, une courbe extérieure C et une ou plusieurs courbes intérieures C!, C/', .…. Les courbes C, C! C!, … forment la frontière de ce domaine; nous supposerons en général que les frontières font partie du domaine, c’est-à-dire qu'en chaque point de C, par exemple, la fonction w a une valeur déterminée. Le domaine est dit alors fermé. Il est dit connexe si l’on peut Joindre deux points quelconques de ce domaine par une ligne brisée située tout entière dans le domaine.

Une fonction w — f(x, y) est bornée dans un domaine A si l'ensemble des valeurs de w pour tous les points de ce domaine est un ensemble borné. On définit comme plus haut (n° 6) les nombres M, m et l’oscillation.

Soient (5, Yo) les coordonnées d’un point M, pris dans cette

porüon du plan. On dit que la fonction f(æ, y) est continue

pour le système de valeurs x, Vos St, à tout nombre positif &, on peut faire correspondre un autre nombre positif n, telqu'on ait

LF(ro+ ; yo+k)—f(æoyo)| Le,

à la seule condition qu’on ait | h ÉTÉ ES".

On peut interpréter comme il suit la définition de la continuité.