NP TUE AU UYP
[+ dx T dæ D'RONTANT S dx
le degré de Q étant inférieur au degré de VW, et le degré de S inférieur au degré de U. Les trois polynomes U, V, W s’obtiennent par des opérations rationnelles; il en est de même des trois polynomes Q, S, T. En effet, en éyalant les dérivées des deux membres de la formule précédente
et multipliant par N ÿP, il vient
MATN OPUS — = P'QU— iron 5. EMBUE SVW,
et l’on a une limite supérieure du degré de T en observant que le degré de TN est au plus égal au plus haut degré de tous les autres termes. Ayant ainsi obtenu une limite supérieure du degré des polynomes Q, S, T, on déterminera leurs coefficients par un calcul d'identification. On est assuré à l'avance que les équations trouvées sont compatibles, puisque cette dé-
Lx : pe T dx ; composition est possible. L'intégrale — peut à son tour se décom-
poser en une partie algébrique et une combinaison linéaire des p — 1 intégrales Yo, …, Yp-2. On peut donc toujours, par des opérations rationnelles,
mettre M srale proposée sous la forme
Î M de = RG) VP + [RE + Sdr.
N VP U VP
le degré de T, étant au plus égal à p — 2, et celui de S étant inférieur au degré de U, R(x) désignant une fonction rationnelle. Pour que l'intégrale soit une fonction algébrique, il faut et il suffit que
les deux polynomesT, et S soient nuls. Toute intégrale f R(x, P) dæ se
décomposant en une intégrale de fonction rationnelle et une intégrale de la forme précédente, on peut donc toujours, par des opérations ration— nelles, reconnaître si cette intégrale est une fonction algébrique ct dans ce cas l’obtenir explicitement.
107. Intégrales elliptiques. — Lorsque le polynome P(x) est du second degré, la méthode de réduction générale qui vient d’être exposée permel de ramener l'intégration d’une fonction ration-
nelle de x et de ÿP(x) au calcul des intégrales
dx dx
M ee | RAT TE Net VP(æ) Frs qu'on a appris à calçuler directement en Algèbre.
Le cas le plus simple après celui-là est celui des intégrales elliptiques, où P(x) est du troisième ou du quatrième degré; les deux cas se ramènent d’ailleurs l’un à l’autre, comme nous venons de le voir, Soit donc P(x) un polynome du quatrième degré, n'ayant que des facteurs linéaires simples, et à coefficients réels; nous allons d'abord montrer qu'on peut toujours, par une substitution linéaire réelle, le ramener à un polynome n'ayant que des termes de degré pair. |
Soient à, b, c, d les quatre racines de P(x) = o. Il existe une relation d’involution
(7) Lo'z" + M(x'+2')+N=o,
qui est vérifiée par x — a, 4" —=b et par x'—c, x"—d. On au pour déterminer les coefficients L, M, N, les deux relations
Lab +M(a+b)+N=o, Led+M(c+d)+N=o,
et l’on voit qu’on peut prendre L=a+b—c- 4, M = cd — ab, N=ab(c+d)—cd(a+b).
Appelons « et 8 les points doubles de l’involution précédente, c'est-à-dire les racines de l'équation
Lu?+2Mu+N—o:
Ja condition de réalité de ces racines (cd — ab}? — (a+b—c—d)[ab(e+ d)— cd(a +b} > 0 peut s’écrire, comme le prouve un calcul facile,
On peut toujours s'arranger de façon que cette condition soit vérifiée. Si les quatre racines a, b, c, d sont réelles, il suffira de prendre pour a et b les deux plus grandes; les quatre facteurs de (8) sont alors posiufs. Si l'équation P (x) — o a deux racines réelles seulement, on prendra pour a et b ces deux racines réelles et pour c et d les deux racines imaginaires conjuguées; les facteurs & — c et a — d sont alors des imaginaires conjuguées, ainsi que b — c et b — d. Enfin, si les quatre racines sont imaginaires, on prendra pour a et b deux racines conjuguées, et pour c et d les deux autres racines conjuguées. Les quatre facteurs de (8) sont encore conjugués deux à deux. D'ailleurs les valeurs correspondantes de L, M, N sont réelles.
Cela posé, observons que la relation (7) peut s’écrire
Tax x"—4
(9) Pen AS re mor di si nous + Pr Sante ou FA étue il vient P z—B J? PIRE
P(æ) = Pit).
P, (y) étant un nouveau polynome du quatrième degré à coefficients réels dont les racines sont
d—u b—a c—x d—x D RP AR SE 4 6 D'après la formule (9), ces quatre racines vérifient par couples la relation y'+ y"= 0; le polynome P,(7) n’a donc que des termes de degré pair.
Si les quatre racines à, b, c, d vérifient la relation a+ b—c+d, on à L—o, et l’un des points doubles de l’involution s’en ‘va à
£ 3 N à 3 PU Pinfins. En posant à — -— =, l’équation eut s’écrire P 5M q 7)P
et 1l suffira de poser 3=4+ 7, pour obtenir un polynome n’ayant que des termes de degré pair.
Nous pouvons donc supposer P (x) ramené à la forme canonique P(x) = Astt+ Am2+ A;
Le RC ENT R TP ONE RTE À
toute intégrale elliptique se ramène alors, abstraction faite d’un terme algébrique et de l'intégrale d’une fonction rationnelle, aux intégrales | |
dx x dx x? dx | = —————— D eee VAT + A,æ?+ A) VAoTt + A;æ? + À»
et à des intégrales de la forme
dx
ire — «à ) VAozi + A1æ2+ A
L'intégrale dx PS DR te Sa ne
\ V'Aozi + A1 æ?+ A est l'intégrale elliptique de première espèce; s1 l’on considère inversement + comme foncüuon de w, on a une fonction elliptique. La seconde intégrale se ramène à une intégrale élémentaire en posant 3? — u. La troisième intégrale
J æ? dx VAoTt + A: TL? + A
est l'intégrale de seconde espèce de Legendre. Enfin on peut écrire Dhs =. PR rd& Eu dx ; VE (æ— a )YP(x) fs:
l'intégrale Î dx (x?+ h) VAsxt + Az? + À,
est l’intégrale de troisième espèce de Legendre.
Les intégrales elliptiques ont été appelées ainsi, parce qu’on les a d’abord rencontrées dans le problème de la ec de l'es | lipse. Soient |
T = a cosy, y =bsiny les coordonnées d’un point d'une ellipse; on a
dt = det+ dyi= (at sint + 6? costg) dé,
NI
ce qu’on peut encore écrire, en posant a? — b?—e?a?, ds = ayÿi—e? cos? do,
et l’intégrale qui représente un arc d’ellipse devient, en posant COSp — ,
Vi—etrt 1 — e? {2 — dt=a dt; re. Î 1)
un arc d’ellipse s'exprime, comme l’on voit, par la somme d’une
intégrale de première espèce et d’une intégrale de seconde espèce. Prenons encore la lemniscate représentée par les équations
AN En Ce À t(ê2 — a?
A Fo) RE d'A 2; É+ a" 14 a“ on trouve, en faisant le calcul, qu’on a 2 a* ds? = dx? + dy? = ——— dr?.
L'arc de la lemniscate s'exprime donc par une intégrale elliptique de première espèce (!).
108. Intégrales pseudo-elliptiques. — Il arrive quelquefois qu'une intégrale frte, VP(æ)] dx, où P(æ) est un polynome du troisième ou
du quatrième degré, peut s'exprimer au moyen d’une fonction algébrique et d'une somme de logarithmes de fonctions algébriques, en nombre fini: de pareilles intégrales sont dites pseudo-elliptiques. Voici un cas assez étendu où il en est ainsi. Soct
(10) Lz'x"+M(x'+z')+N=o
une relation d’involution faisant correspondre deux à deux les quatre racines de l’équation du quatrième degré P(x)—0o; si la fonction rationnelle f(x) est telle qu'on ait identiquement
Mz+N AM DEMI
