HR RER LES
l'intégrale [LE est pseudo-elliptique.
vP(æ)
() Cette propriété appartient à toute une classe de courbes découvertes par Serret ( Cours de Calcul différentiel et intégral, t.II, p. 264).
à Li A l < Goes TA re ve Je 268 CHAPITRE V. — CALCUL DES INTÉGRALES DÉFINIES.
Soient a, 8 les points doubles de l’involution; la relation (10) peut s'écrire, comme on l’a déjà remarqué,
x'— à der Fr) DA er
Cela étant, faisons dans l'intégrale la substitution j = y : il vient (a P)dy LAPS TG NU OC
et par suite dx __ (@ — $) Ce
VP(x) VPi(y)
P:(y) étant un polynome du quatrième degré qui ne renferme que les puissances paires de y (n° 107). Quant à la fraction rationnelle f(x), elle se change en une fraction rationnelle © (y), telle qu’on ait identique ment 6(y)+g@(—7y)= 0; car, si deux valeurs de x sont liées par la rela-« tion fo les valeurs cornée dE J',. y" de y vérifient la relation Y'+y"= 0. On voit donc que la fonction #(y} est de la forme yŸ (72)
Ÿ étant une fonction rationnelle de y?; l'intégrale proposée devient par conséquent
ra VAoYi+ A1y?+ A | -
et il suffit de poser y?= 3 pour être ramené à une intégrale élémentaire. La proposition est donc établie, et l’on a de plus le moyen d'effectuer Ka réduction.
Le théorème est encore vrai si le polynome P(x) est du troisième degré, pourvu qu'on regarde une des racines de ce polynome comme infinie. La démonstration est tout à fait semblable à la précédente.
Par exemple, si l'équation P(æ)— o est une équation réciproque, une des relations d’involution qui permutent les racines deux à deux est x'z"=1 Par suite, si une fonction rationnelle f(x) est telle qu'on ait identique- …
È ment f(x) +f() = 0, l'intégrale PRIS est pseudo-elliptique, et. SA AIR VP(æ) 4
= y, puis y?= 3, pour être ramené
æ il suffit de poser successivement
k NU T+I à une intégrale élémentaire. e
Supposons encore que P(x) soit un polynome du troisième degré
Pt) = (a —1)(e- a);
ô : I | : 1 . 2 108 nous poserons 4 = æ, b=0, c —1, d= —. Il existe trois relations d'invo-
CAME i " à D 'Ci s'/4S
RE a " }
lution permutant ces racines deux à deux,
vw" PRE pra
1— 27" —— RU k2(1 — x")
si donc une fonction rationnelle f(æ) satisfait à l’une des relations : QUE 1—hx | Je) +f(ps) = ro + le [— a+ (TE) = 0,
1 (x) dx
Vz(i—æ)(i—k?x)
est pseudo-elliptique. De celles-là on peut en déduire de nouvelles. Par exemple, en posant x = z?, l'intégrale précédente devient
1h 2 f(z?) dz | ({i— z2)(1— 4223)
l'intégrale
et l’on en conclut que cette nouvelle intégrale est aussi pseudo-elliptique, si f(22) satisfait à l’une des relations
le premier cas avait déjà été remarqué par Euler (1).
109. Intégration de quelques fonctions transcendantes. — Considérons un produit d’un nombre quelconque de facteurs de la forme cos(az + b), a et b étant des constantes, et un même facteur pouvant figurer plusieurs fois dans le produit. La formule
COS(U + 9 COS(U — © Sante) PRO» © 8)
COS U COSP —
remplace un produit de deux facteurs de cette espèce par une somme de deux cosinus de fonctions linéaires de +, et un produit de x facteurs par la somme de deux produits de (7 — 1) facteurs. En appliquant la même formule autant de fois qu’il est nécessaire, on arrivera à remplacer le produit considéré par une somme telle
mo
(1) Voir le Cours lithographié de M. Hermite (4° édit., p. 25-28).
270 CHAPITRE V. — CALCUL DES INTÉGRALES DÉFINIES. à que EH cos(Ax + B), dont chaque terme s'intègre immédiatement; si À n’est pas nul, on a
Ë "+ foostar+ B) dx — ne + G,
et, dans le cas particulier où À — 0, f cos Bdx="#re08 BIO:
Cette transformation s'applique en particulier aux produits
cos”x sin?>, qu'on peut écrire
T cos’”?> cos” (£ en. æ) , Ve
2 70 à lorsque 7# et n sont deux nombres entiers positifs; en appliquant le procédé précédent, on remplace ce produit par une somme de
sinus et de cosinus de multiples de l'arc, et l'intégration est immédiate.
2 ra
Considérons encore les intégrales
er fisinz, cosæ) dx,
où f est une fonction entière de sinx et de cosx. Un terme quelconque de cette intégrale est de la forme RE
fes sinnxcos®x dy, «
| di m el n étant des nombres entiers et positifs. D’après ce qu'on vient
de dire, le produit sin” cos" x peut être remplacé par une somme
de sinus ou de cosinus de multiples de x, et l’on n’a en définitive que deux types d’intégrales à étudier,
fer cosbx dr, fes sin dx dx.
En intégrant par parties chacune de ces intégrales, il vient
ex sinbx a :
fes cosbx dx — PRUDENT if e2x sinbx dx,
; eFrCOs fe sin br dx = — , bx es G Je cosbx dx, a 00
II. — CALCUL APPROCHÉ DES INTÉGRALES DÉFINIES. 271 et l'on tire de ces relations
eax(acosbx + b smbx eax cosb x dx — ( ), a? + b?
eax(asinbx— bcosbx) a?+ b?
feu sin dx dx —
Parmi les intégrales qu’on peut ramener aux précédentes, citons
encore les types suivants :
rose" dæ, rtare sinæ) dx, f fGæ) arc sinæ dx, [ ftæ)are tangx dx,
où f désigne une fonction entière. Dans les deux premières, on prendra pour nouvelle variable logx ou arcsinæ; dans Îles deux dernières, on appliquera d’abord une intégration par parties en considérant f(æ) dæ comme la différentielle d’un polynome F(æ), ce qui conduira à des types déjà étudiés.
110. Généralités. — Quand on ne connaît pas de fonction primitive de LME on à recours à des méthodes d'approximatton
pour trouver la valeur approchée de l'intégrale définie / f(x) dr?
Le théorème de la moyenne fournit deux limites entre lesquelles est comprise cette intégrale, et l’on peut, par un procédé analogue, en trouver une infinité d’autres. Supposons que, æ variant de & à b(a<b), on ait constamment ® Émis in) RU (a) éstieNr dent qu’on aura aussi
P'acde< [rar < fumer:
si l’on a choisi, pour les fonctions w(x) et L(x) les dérivées de deux fonctions connues, on obtiendra de cette façon deux limites entre lesquelles sera comprise la valeur de l'intégrale considérée. Prenons, par exemple, l’intégrale
LE fe La FAR h Wr=r
on peut écrire Wi—x'=— ÿ1— x? V1+ 3, et, æ& variant de o'à 1, | Vi+ x? reste compris entre 1 et 2. L'intégrale cherchée est donc
comprise entre les deux intégrales
I NE il dx re mm = | We + | a) Vi— zx? o Vi æ?
c'est-à-dire entre —— 2 V2
rapprochées en observant que (1+ x?) ? est plus grand que 1 — E
ne
comme le montre le développement de (1+u) par la formule
de Taylor, limitée aux deux premiers termes. L'intégrale I est donc
supérieure à
7 dx : fl a? dx LR INR ES ot cs .9 À Le 2 x View? 2e Vi
»e L 2 pe ° LJ la dernière intégrale a pour valeur =, et, par suite, I est compris | f
3T T entre — et —:.
Il est clair qu’on n'obtient de cette facon que des indications
sur la valeur exacte de l'intégrale, Pour avoir des valeurs plus approchées, on partagera l’intervalle (a, b) en intervalles plus petits à chacun desquels on appliquera la formule de la moyenne. Pour fixer les idées, supposons que f(x) aille constamment en croissant depuis & jusqu’à b. Divisons l'intervalle (a, b) en nr parlies égales (b— a—nh); d'après la définition même de l’inté-
grale, f J (x) dx est comprise entre les deux sommes s = h\f(a) +f(a+ h)+...+fla+(n—1)4]|,
DLL +h)+f(a+2h)+...+f(a+nh)].
En prenant pour valeur de l'intégrale b— a
x (8) —f(a)] La
certainement inférieure à S — s —
ES
s jt leur peut s’écrire
h J(a)+f(a+h) de f(a+h)+f(a+o2h) 4 à 2
…fla+(n—1)h]+ f(a+nh)
Ft
et On peut trouver deux limites plus |
> l'erreur commise est -
ne 3
LR
? » AS NES Br si l’on observe que = HAer +ih)+fla+(i+ 1)A] représente l'aire du trapèze qui aurait pour hauteur À et pour bases f(a + 1h) et f(a+th+h), on voit que la méthode revient à remplacer l'aire de la courbe y — f(x), comprise entre deux ordonnées voisines, par l'aire du trapèze rectiligne ayant pour bases ces deux ordonnées. La méthode est pratique, quand on n’a pas besoin d’une grande approximation.
L , dx .
Prenons, par exemple, l'intégrale f uen l’on prend nr — 4, " 0
on a pour valeur approchée de Pintégrale
Ù diese pre Mie. d Faq D M D/ann AR 825
. . I LA , £ et l'erreur commise est moindre que 6 = 20625. On en déduit
une valeur approchée de + qui a une décimale exacte 3, 1308.
S1 la fonction f(x) ne varie pas dans le même sens lorsque x croît de & à b, on partage cet intervalle en plusieurs autres pour lesquels cette condition soit satisfaite.
