FAO E

est un polynome de degré 7 qui s’annule pour les valeurs don nées Los Li, Lys Sauf pour æ =%;, et qui est égal à un pou Pret. Oia done

L'une Do [sa

U==0 or, nous pouvons écrire

Us, 01, ..., 0, étant des nombres croissant avec l'indice entre 0 et 1; en faisant le changement de variable x= a +(b —a)t, la rt approchée de l'intégrale prend la forme

(13) (b— a)(KoYo+ KiY1+.e.+ KnYn}, où l’on a posé

E— Bo} CE L = fe ar

Si, quelle que soit la fonction f(x), on décompose l'intervalle : q ) P |

(a, b) en intervalles plus petits dans un rapport constant, les« nombres 04, 0,, ..., 0, et, par suite, les coefficients K; sont indé" pendants de f(x). Ces coefficients étant calculés une fois pour toutes, on n’a plus qu’à remplacer yo, Y4, ..., y, par leurs valeurs correspondantes dans la formule (13). # Lorsque la courbe y = f(x), dont on veut avoir l’aire, est donnée graphiquement, il est commode de diviser l'intervalle fut 9 “25

(æ, b) en parties égales, et l’on n’a plus qu'à mesurer sur cette courbe des ordonnées équidistantes. Si l’on divise en deux parties

égales, on doit prendre 4, = 0, 4, — = 0, — 1, ce qui donne poes

valeur 2 approchée de l intégrale bb ; | Fr sm ie 4 Vi + Va).

On trouve de même, pour n = 3,

b— a à 1 = Dm PA 3 V1 + SY2+ ÿ3

Il. — CALCUL APPROCHE DES INTÉGRALES DÉFINIES. 275

et, pour nr — 4,

(7Yo+ 32Y1 +122 + 32Y3+ 7x).

La méthode précédente est due à Côtes. Celle de Simpson est un peu différente. Imaginons l'intervalle (a, b) divisé en 2x parties égales, et soient ys, y1, Ÿ23 +++, Jan les ordonnées correspondant aux points de division. Si l’on applique la première formule de Côtes à l’aire comprise entre deux ordonnées d'indice pair consé-

cutives, telles que y, etJ2, V2 et V1, ..., On trouve pour valeur de. l'aire totale à évaluer

b— a I — Be Oo AVi+ Ja) +(V2+4Va+ Vi)+. .. +(Yan-2+ 4 Von-1+ Van)l

et, en réduisant, on est conduit à la formule de Simpson

I — bn [Vo + Yan + 2( Ve RME PME Von-e) + AVI 3H + Van—1)].

112. Méthode de Gauss. — Dans la méthode de Gauss, on prend d’autres valeurs pour les quantités 4;. Voici comment on y est conduit : Admettons qu’on puisse trouver des polynomes de degrés croissants, qui diffèrent de moins en moins de la fonction à intégrer f(x), dans l'intervalle (æ, b). Admettons, par exemple, qu'on ait

J(X) = t0+ UT +424... + ton dt + Ron(æ),

le reste R,,(x) étant moindre en valeur absolue qu'un nombre fixe positif e, pour toutes les valeurs de x comprises entre «a et b (!); nous ne connaissons pas en général les coefficients &;, mais ils n'interviennent pas, comme on va le voir, dans le calcul. Soient maintenant Lo, Li, ... Æn 1 des valeurs de x comprises entre «a et b, et o(x) le polynome de degré n —1, qui prend les mêmes valeurs que f(x) pour les valeurs 4, æ1, ES Ch LArlore mule d’interpolation de Lagrange montre que ce polynome peut

(*) C’est une propriété générale des fonctions continues dans l'intervalle (by d’après un théorème de Weierstrass. (Voir Chap. IX.) P P

276 CHAPITRE V. — CALCUL DES INTÉGRALES DÉFINIES. s’écrire 27n—1

o(x) — à amPm(T) de Ron(To) Po(r) Ars Ron(Ænet) Par

Om et Wy étant des polynomes de degré 7 — 1 au plus. Il +: visible que le en Om(T) ne dépend que des valeurs choisies x, Di, «5t,tŒ@n1. D'autre part,ice-polynome m(æ) doit prendre les mêmes ARE que æ" pour ZT = Lg, TL Li cee3 À = Ln-1; CAT, si l’on supposait tous les a; nuls, sauf &», ainsi que R,(x), f(x) se réduirait à 4,4” et o(x) à Am Om )- La différence 2" —v,(x) doit donc être divisible par le produit

P,(æ)=(tT—%)(t —%1)...(&— Zn), el l’on doit avoir +"—0,(x) = P,Q» n(x), Qu n(x) élant un polynome de degré m— n, simèn, et Z'"— En(T)—=0; si m

b est < n — 1. Cela posé, l’erreur commise en remplaçant f. f(xz)dæ a

b par / o(x) dx est égale à

(14) D en en(des f node Srute) f° W;(æ) dx.

Les termes qui dépendent des coefficients &6, 41, ..., än, Sont identiquement nuls, et l’on voit que l’erreur commise dépend uni= quement des coefficients 4», On4s, ..., Gon s et du reste R:,(x# Or, en général, ce reste R;, est très petit par rapport aux coeffi= Clients Ans Any) eee) Xon-13 On aura donc de grandes chances pour augmenter l’approximation, si l’on peut disposer de æ5, æ1, : Tn-1, de façon que les termes qui dépendent de &,, dh;1, -. Lori Soient nuls aussi. Pour qu’il en soit ainsi, il faut et il suffit que les n intégrales

b b b chi P} Qs dx, UE PACE dx, se. 4h PLOoæ dx

soient nulles, Q; étant un polynome de degré £. Nous avons vu

II. — CALCUL APPROCHÉ DES INTÉGRALES DÉFINIES, D plus haut (n° 90) qu'on satisfait à ces conditions en prenant

d — HAL ec Ce 0 Ale

il suffira donc de prendre pour x,, æ;, ..., æ, les n racines de l'équation P,= 0, racines qui sont bien comprises entre a et b.

Lorsqu'on à &a——1, b—+1, cas auquel on peut ramener b = a + ba leurs æ,, æ1, . .., Æn, sont les racines du polynome de Legendre Xy—0. On trouvera, dans le Traité de Calcul intégral de M. Bertrand (p. 342), les valeurs de ces racines, ainsi que des coefficients K; de la formule (13), jusqu'à » — 5, avec 5 et 8 décimales.

tiblest va

tous les autres par la substitution x — :

L'erreur commise dans la méthode de Gauss est égale à

b b te Rn(æ) dr ŸRau(as) f Wi(x) dx;

les fonctions W;(x) ne dépendent pas de la fonction dont on cherche l'intégrale. Pour avoir une limite de l’erreur commise, il suffit donc de connaître une limite de R;,(x), c’est-à-dire de savoir avec quelle approximation la fonction f(x) peut être représentée par un polynome de degré 27 — 1 dans l'intervalle (a, b), sans qu'il soit nécessaire de connaître ce polynome.

115. Planimètre d’Amsler. — On a imaginé un grand nombre d’appareils pour mesurer, par des moyens mécaniques, l’aire d’une courbe plane (1). Un des plus ingénieux est le planimètre d’Amsler, dont la théorie offre une application intéressante des intégrales curvilignes.

Considérons une droite rigide mobile dans un plan, et les aires Jb,, bo des courbes décrites par deux points A;, A, de cette droite, lorsque, dans son mouvement, elle revient à sa position initiale au bout d’un certain temps. Soient (æ1, Y1), (2, Y2) les coordonnées des deux points A1, A», dans un système d’axes rectangulaires, / la distance des deux points, et 0 l’angle que fait avec Ox la direction A; A,. Pour définir le mouvement de la droite, il faut supposer que 21, y1 et 0 sont des fonctions périodiques

(1) On en trouvera la description dans un Ouvrage de M. ABDANK-ABAKANO- Wics : Les intégrales, la courbe intégrale et ses applications. Gauthier-Villars,

d'une certaine variable indépendante #, qui reprennent les mêmes valeurs lorsque £ augmente de T. On a æ>=æi+lcos0, y:= y1+Zsin6, et, par suite,

T9 AV — Vo d£o = T1 dyYi— 1 dÆi+ [2 dû + [(cos0 dyi — sin0 dx, + T cos0 d0 + y1 sin 0 db).

En désignant par ,, Lb2 les aires des courbes décrites par les points A,, A2, ces aires étant évaluées avec la convention générale faite plus haut (n° 97), on a

1 — fe dyi — Y1 di, 2 — = fe dY2— Ye dts,

et, par conséquent, en intégrant les deux membres de l’égalité précédente,

2 = a+ / de +2 fes dyi— sin0 ds+ © [(ærcost + Yi sin 0) d6,

toutes les intégrales étant prises entre les limites to et + T pour la variable ?. Il est clair que / dt —2K7, K étant un nombre entier qui .

dépend du mouvement de {la droite. D'autre part, on a, en intégrant par

parties, f ascost dû —æ: sint— f sind dx, fs sin 0 d0 = — y, cos0 + cos dy;

or #1 sin0 et y cos0 reprennent la même valeur lorsque t croît de to à te+T. Nous pouvons donc écrire

ba = dy + KT/2+ ! ff cost dyi— sin0 dx;;

soient s l’arc de la courbe décrite par A, compté positivement dans un … sens déterminé, à partir d’une origine arbitraire, et l’angle que fait avec Ox la UT positive de la tangente; on a encore

cOS0 dy — sin 0 dx = (sina cos0 — sin cosa) ds = sin V ds,

V étant l'angle que fait avec la direction choisie sur la droite la direction positive de la tangente, compté POI AEES comme en Tree La formule précédente peut encore s’écrire 1

(15) oo — Jo + KR 1 [ sin Vds.

Soit A3 un troisième point de la droite, à une distance /' de A,: onade …

même, pour l'aire de la courbe décrite par A3, (16) RD PEUR re PRE r fsnv de.

ve Si entre ces deux formules on élimine l'intégrale FICORMENT sin V ds, il

vient l'Aoo — los = (l— L) 1 + Kr£/'(l — BY

relation qui peut encore s’écrire (17) Â1(23) + (31) + b3(12) + Kr(12)(23) (31) = 0,

en désignant par (£k) la distance des deux points A;, Ax (1, k—1, 2, 3) affectée d’un signe. Pour donner une application de cette formule, considérons une droite A; A; de longueur (a + b) dont les extrémités A, et A: décrivent une même courbe fermée convexe G:; le point À; qui divise À, A» en deux segments de longueur & et b décrit aussi une courbe fermée C’ intérieure à G. On a ici

D at 29), (31)=— «a K=r, et il vient, en divisant par a + D, 1 — dbz — Tab;

Or bi — <b3 représente l’aire comprise entre les deux courbes G, C’. On voit que cette aire est indépendante de la forme de la courbe G. Ce théorème est dû à M. Holditch.

Au lieu d'éliminer f. sin V ds entre les formules (15) et (16), éliminons db; il vient |

(18) Ls= dos + Kr(/2— 2) + (17) [| sin V ds;

le planimètre d’Amsler offre une application de cette dernière formule. Soit A; A2A; une tige rigide articulée en A avec une autre tige OA. Le point O étant fixé, on fait décrire à l’extrémité A3, qui est munie d’une pointe, le contour de l’aire qu’on veut évaluer; le point A: décrit un arc de cercle, ou une circonférence entière suivant la nature du mouvement, Dans tous les cas, on connaît 4, K, Z, /', et il suffira de connaître l’inté-

grale f sin V ds pour avoir l’âire cherchée 3. Cette intégrale est prise le

long de la courbe C; décrite par l'extrémité A,. Cette extrémité porte un cylindre de révolution gradué dont l’axe coïncide avec l’axe même de la tige A1 A3, et qui peut tourner autour de cet axe.

Considérons un déplacement infiniment petit de la tige qui amène A; A, A; dans la position A A A4. Soit Q le point de rencontre des deux droites

AA, et A! À! : du point Q comme centre décrivons un arc de cercle Afa, et du point A’ abaissons la perpendiculaire A P sur A; À:. Pour amener la tige de la première position à la seconde, on peut imaginer qu’elle glisse d’abord sur elle-même de façon que A, vienne en a. Dans ce mouvement, le cylindre glisse le long de la génératrice de contact, et la rotation est nulle.

Si l’on fait ensuite tourner la tige autour de Q, de façon que « vienne en A,

a A la rotation du cylindre est mesurée par l’arc 4 A’. Or les deux rapports FTP ACER de 3 ———— tendent respectivement vers 1 et sinV lorsque AA; tend arc AA;

vers zéro. On peut donc écrire «A! = As(sin V +), € étant infiniment petit avec As. La rotation totale du cylindre est, par suite, proportionnelle à la limite de la somme XAs(sin V +=), c’est-à-dire à l'inté-

grale f sinv ds. Il suffit donc de mesurer cette rotation pour en déduire

l'aire cherchée.

114. Intégration des séries. — Lorsque la fonction à intégrer f(æ) peut être développée en une série, dont les termes sont continus, on en déduira un développement en série de linté=

b grale f J(x)dæx, pourvu que la série qui représente f(x) soit «a

uniformément convergente dans l'intervalle (a, b). Nous allons

démontrer, en effet, que toute série uniformément conver gente

à termes continus peut être intégrée terme à terme. Soit |

(19) (a) = uo(æ) + ur) +... ur) Pur ACIER

une série uniformément convergente dans un intervalle (a, b), les termes de celle série étant des fonctions continues dans cet intervalle. À un nombre positif : donné à l’avance, faisons correspondre

Il. — CALCUL APPROCHÉ DES INTÉGRALES DÉFINIES. 281

un nombre entier N tel que l’on ait Mn NN user panier e, pourvu que 2 Z2N. La relation (10) peut s’écrire f(x) = w(r)+u(r)+...+un(x) + Ra(x),

et l’on en déduit

b b (20) JF) de = Uo+ Ui+..+ Us f Rilr} ur

b en posant pour abréger U; — 1 u;(æ) dx. La relation (20) prouve

b que la différence entre l'intégrale f f(x) dx et la somme desn +1 « + œ

premiers termes de la série >. U:; est plus petite en valeur absolue Te

que e[b—a|, dès que l’on a »ZN; ce qui Ant à dire que

cette série est convergente et a pour somme ex a TZ) dr. On a

donc l’ égalité

b b b b (21) tas |. aG)de+ | (a) de ++ f Un (TX) dE,

qu’on énonce d’une façon abrégée en disant que la série (19) peut

être intégrée terme à terme.

On peut encore énoncer ce résultat comme il suit (vour n% 30, 31, 98). Lorsqu'une fonction continue se tend uniformément vers une limite

pb (æ), on a (rx) dr —\lim He dx, où encore an )

(22) ile pue AR AR NEC ae|,

de sorte qu’on peut intervertir le signe d'intégration et le signe limite (1).

(!) D'une facon plus générale, si des fonctions intégrables f,(æx) bornées dans leur ensemble, c’est-à-dire quels que soient + et », ont une limite f(x), l'intégrale Run) a pour limite l'intégrale de f(x) (LeBEsaur, Leçons sur l'intégration, etc., p. 114). Le cas particulier de ce théorème, où f el f, sont continues, avail déjà été démontré par M. Osgood (American Journal, 1897).

NME à *

PROS". PTE RER

Lorsque la fonction fn(æ) ne tend pas uniformément vers tee l'égalité (22) n’est pas toujours vérifiée. Prenons, par exemple, 3

Jn(æz)= nez 40, CRE P

Onaici f(æ) = lim [næe-*] = 0 ; le premier membre de la formule (29) RE $

est nul, tandis que le second a pour valeur

1 À = lee AS | L

: : enx 1 £ 10 mn I lim vi nxe 2 dr | — lim (- = Jim ee

I = co 0 . HEC 2 0 \ 2 2

De même, une série peut être différentiée terme à terme pourvu que la série des dérivées soit uniformément convergente. Soit

CR) = Wo(T) + M (r)+...+ um) Hi

une série convergente dans l'intervalle (a, b); supposons que la série formée par les dérivées est uniformément convergente dans

dus du, dun

o(x) dr Ted ir ee

En intégrant terme à terme entre deux limites To Et d, comprises entre & et à, il vient

si pCx) dx = [uo(x) — uo(æ0)] + [ui(x) — u(Zo)]-+...,

c’est-à-dire

px) de = f(x) — f(æ0),

relation qui montre que o(x) est la dérivée de FAR

fonctions continues, hypothèse qui est inutile dans la première démonstration (er PRe 32). ‘ A ————— — "———]— | (*) Le théorème du n° 100, relatif à la différentiation sous le signe /, peut de s

même se déduire de la formule (51) du même paragraphe. Supposons que les deux fonctions FT, a )et LU,

«) Sont -continues pour æ2>@, %£a£a,,que

0e eZ :

Exemples. — 1° L'intégrale [= dx ne peut s'exprimer par une come TX

binaison en nombre fini de fonctions élémentaires; écrivons-la comme il suit :

On peut trouver pour la dernière intégrale un développement en série valable pour toute valeur de z; on a, en effet, | et — 1] + 7 x? Hi

nf (os ERREn PS EE TU 1.2.3 RE LOUE

et cette série est uniformément convergente, dans l'intervalle de —R à +R, aussi grand que soit R, car les valeurs absolues de ses termes sont moindres que les termes de la série