III. — MÉTHODES DIVERSES
115. Application des formules de différentiation et d'intégration sous le signe /. — Les formules des n°‘ 98 et99 permettent souvent
de trouver la valeur de certaines intégrales définies, en les rattachant à d’autres intégrales définies qui sont connues. Par exemple, on à, si a est positif, |
= dx zx UT Arc tang —; DRE Paron Ne Ta a
en appliquant la formule (42) n — 1 fois de suite, on en déduit
Ti dx dn-1 I "1 T — ] LL 162 . 12 GE I TT TN ENT ZE — rc tan° — . Han AR vi a) ar = 5 =)
Dans cet exemple, on aurait pu obtenir directement la valeur de l'intégrale définie en calculant d’abord l'intégrale indéfinie. Il n’en est plus de même dans l'exemple suivant.
On démontrera plus loin (Chap. VI, n° 135) la formule
+ = J errrar— va F
en posant æ — y Va, x étant positif, il vient —+ © 1 TRES (23) les ee x ?,
et il est facile de vérifier que toutes les intégrales que l’on déduit de celle-là par des différentiations successives par rapport au paramètre æ sont uniformément convergentes, pourvu que « reste supérieur à un nombre fixe k = o. De la formule précédente on déduit donc les valeurs de toute une série d’intégrales
+ © Vr + — &y? Ps LA va e 0 PES re d ;
x *e—%ÿ* dy — (24) 64 1 core
ET) Per
et, en les combinant, on pourra en déduire une infinité d'abtre en On :
Le 0e par exemple, x L je ea cos28 y dy | TER É ge" | 2 tr Le. (2 CRE CE =], ne Fe tail 1.2: RHIUR | 11006 ii e-%* dy — f ea Eire. dy+... 4
me I +Cix fl ee CE à dy +...
inté 1 ’êtr $ TR Ë "#4 Toutes ces intégrales viennent d’être calculées, et il reste +7,00
. | F | “ e%* cos28 y dy | | ARR ‘4 J, .
1,/T (2h) ra ? ++ ee ‘7
2 F 1,300 RS sh . 10
2n+1 ns,
ME (28 )27 vr 1.3.5...(27 —1) RE
ou, en réduisant,
(25) e co52 BY dr (V2 00e | # 5 2V «à g ""
Dans d’autres cas, on calcule d’abord la dérivée de lntéesl que l’on veut CHREe par rapport à un paramètre. Soit, par
exemple, l'intégrale "tn | log(i+ ax) ë D:
[ — F(a) = f —— © dr; “15e CNE
ÿ Lt M
la formule de différentiation sous le signe nf donne
A LOEUEERES “À z dx da AS T4 1 U+ax)(1 3)
Mais on a, en décomposant en fractions simples, VA [l CA ml 2 œ A —————————— = ———— tronc be ere, (i+ar)(1+x?) (DaR AR ET E L'HÉGAN et par suite
LEE | =. = — fEUte nn Arc tang q (+ax)G + — 2(1+ a) bre. Lee
Je EU 1 Ro LT Pr PTE As
ILI. — MÉTHODES DIVERSES. 287 Il reste donc a (4 log(r + a?) = —= Arc tanc ES | dau 1+a? ë g(1+ a) |
et, en observant que [ est nul pour 4 — 0, on peut écrire
log(1 + x? U3
l= ( EE du f ———— Arc tanga da; 2(1+ a?) RO ee
en intégrant par parlies la première intégrale, il vient
(26) FE = Arc tanga log(r + ax?)
La formule d'intégration sous le signe / permet aussi quelquefois
de calculer certaines intégrales.
Considérons, par exemple, la fonction x”; elle est continue lorsque x varie de o à 1, et y de a à b, les deux nombres a et b élant positifs. On a donc, d’après la formule générale (44) (n° 99),
1 0 b 1 * dx | as dly = f ay | ALT:
s : , ærTi\i I ” Mais x) dx — =) et ar conséquent, le A el, p LEA |
R'ut
second membre a pour valeur
b # b L . ù TI DV— TA .
D'autre part, on a aussi f LT dpi =) = ———, etil se log æ log æ vient .
LT N xd — x b+i (27) je ET x = log ( }' vA logx \&HI
D'une façon Hat soient P(x, y), Q (x, y) deux fonctions
Aou :
telles que l’on SP = = Lo, Xi Vo Vi des constantes. On a,
CA
d’après la formule d'intégration sous le signe /;
Xi Y1 dP Y1 T1 à dx f — dy = 4 dy L Fr Le 0 4 Yo Vo ns
285 CHAPITRE V. — CALCUL DES INTÉGRALES DÉFINIES. s
c’est-à-dire %£ | MATE
La PE CPC, 71) PC poldz = | [Q(rs 7) —Q(a de “ é Fo
Cauchy a déduit de là un grand nombre d'intégrales définies. 3
