II. — FONCTIONS. — GÉNÉRALITÉS

Imaginons que l’on construise, dans le plan des æy, un carré de centre M,, de côté égal à 2n, etayant ses côtés parallèles aux axes; le point M’ de coordonnées (z5+ h, Yo + k) est à l’intérieur de ce carré, pourvu qu’on ait [A] <n, |*|<n. Dire que la fonction est continue pour æ = Lo, Ÿ = Yo; cela revient à dire qu'on peut prendre le côté de ce carré assez petit pour que la différence des valeurs de la fonction au point M, et en un autre point quelconque de ce carré soit moindre que £ en valeur absolue. Il est évident, d’après cela, qu'on pourrait remplacer ce carré par un cercle de centre (4, Yo); car, si la condition précédente est satisfaite pour tous les points situés à l’intérieur d’un carré, elle le sera aussi pour tous les points intérieurs au cercle inscrit. Inversement, si la condition est satisfaite pour tous les points intérieurs à un cercle, elle l’est aussi pour tous les points intérieurs à un carré inscrit dans ce cercle. On pourrait donc définir la continuité en disant qu’on peut faire correspondre les nombres positifs s etn de

telle façon que l'inégalité ÿh?+ #?< n entraîne l'inégalité Lf(æo+ k, yo+ #)— fra Jo)| <e.

De même, la fonction f(x, y) est dite continue en un point m de la frontière si la valeur de w en un point voisin m, du domaine À, tend vers la valeur de w en m lorsque la distance mm’ tend vers zéro.

Une fonction f(x, y) continue en tout point intérieur à un domaine À et en tout point de sa frontière est dite continue dans À. Il existe pour les fonctions continues dans un domaine borné À, limité par un contour fermé C, des théorèmes tout à fait analogues à ceux qui ont été démontrés plus haut (n° 8).

De. donné un nombre positif =, on peut décomposer la portion À du plan en parties plus petites de telle façon que la différence des valeurs de w pour deux points Le CARTE) d’une méme partie soit toujours moindre que &.

Nous procéderons toujours par subdivisions successives, de la facon suivante. Imaginons la portion À du plan décomposée par des parallèles à l’axe des æ et à l'axe des y, la distance de deux parallèles voisines étant égale à à; de ces poruons de À, les unes

sont des carrés de côté à situés tout entiers à l’intérieur de C, les autres des portions de carrés limitées en partie par des arcs du contour C. Cela posé, si la proposition énoncée n’était pas exacte pour la portion À, il en serait de même pour une au moins des nouvelles portions du plan A, : en subdivisant de la même façon la portion À, et ainsi de suite, on formerait une suite de carrés ou de portions de carrés

A Ai, EE An; ACC‘)

pour lesquels la proposition énoncée serait inexacte. La poruon À, est tout entière comprise entre deux parallèles x = a, æ =D} à l’axe des y et entre deux parallèles: Gt l’axe des x. Lorsque 7 augmente indéfiniment, a, et b, ont une limite commune À; c, et d, ont de même une limite commune LL.

Fig. 2.