LE

à chaque subdivision de A correspond ainsi unesomme supérieure S et une somme inférieure s. Toutes les sommes S sont évidemment supérieures à mQ, elles ont donc une borneinférieurel. De même, toutes les sommes s sont inférieures à M9Q; elles ont donc une borne supérieure ['. On démontrerait comme plus haut (n° 72) que

I. — PROCÉDÉS DE CALCUL. 297 l’on a l'£I, ce qui résulte d’ailleurs de la proposition générale suivante, tout à fait pareille à celle du n° 73 :

Les sommes S et s ont respectivement pour limites les nombres Let 1’, lorsque le nombre n croit indéfiniment, de facon que tous les domaines a; tendent vers zéro dans toutes leurs dimensions. |

Nous dirons, pour abréger, qu’une portion finie du plan À est inférieure à / dans toutes ses dimensions, s'il est possible de trouver un cercle de diamètre { renfermant À à l’intérieur. Une portion variable du plan sera dite zafiniment petite dans toutes ses dimensions, s’il est possible de trouver un cercle de rayon aussi pelit qu'on le voudra renfermant cette portion du plan à l'intérieur. Par exemple, un carré dont le côté tend vers zéro ou une ellipse dont les deux axes tendent vers zéro sont infiniment petits dans toutes leurs dimensions. Au contraire, un rectangle dont un seul côté tend vers zéro, ou une ellipse dont un seul axe tend vers zéro, ne sont pas infiniment petits dans toutes leurs dimensions.

Démontrons, par exemple, que S a pour limite 1. Nous pouvons supposer que f (+, y) est positif dans le domaine À, car on peut toujours trouver une constante positive C telle que la fonction

P(LYY= CE f(x) 7)

soit positive dans À, et les sommes S et S', relatives à un même mode de subdivision, pour les deux fonctions f et w, diffèrent d’une quantité constante CQ.

Soit « un nombre positif quelconque; le nombre I étant la borne inférieure des sommes S, il existe un mode de partage du domaine À en x domaines partiels &a,, &2, ..., an, tel que la somme S correspondante soit inférieure à 1 +— = Désignons par L l’ensemble du contour L et des lignes auxiliaires qui ont été tracées dans À pour obtenir ce mode particulier de subdivision. Soient w; l'aire du domaine &;, et y; le contour de ce domaine. A l’intérieur du domaine a; traçons un contour fermé y;, n’ayant aucun point commun avec ;; mais suffisamment voisin de y; pour que l’aire

comprise entre les deux contours ;, y; soit inférieure à 7 n étant

un nombre positif arbitraire. Imaginons que l’on opère de même

avec tous les domaines partiels &,,a:,..., a,, et soit L'l’ensemble des lignes y; ainsi tracées. Ce svstème L/ décompose le domaine A: en deux domaines A’ et A"; A se compose de l’ensemble des domaines a; intérieurs aux lignes +:, et A” du domaine restant après que l’on a supprimé A’, Si Q/, Q" désignent les aires de ces deux domaines, on a Q—Q'+Q7, et, d’après la façon dont on choisi les lignes y;, la différence Q — Q/ ou Q’ est inférieure à 1: Les lignes Let L’ n'ayant aucun point commun, désignons par À le minimum de la distance d’un point de L à un point de I/.

Considérons maintenant une décomposition quelconque du domaine À en domaines partiels, inférieurs à À dans toutes leurs dimensions, et soit S' la somme supérieure correspondante. La portion de S' qui provient des domaines partiels n'ayant aucun point commun avec la ligne L est évidemment inférieure à S: D'autre part, les domaines partiels qui ont un point commun aveé la ligne L sont à l’intérieur du domaine A’ et fournissent dans S! une somme inférieure à Mn. On a donc

S'<S+Mn<1+ = +Mr;

si l’on a pris le nombre arbitraire n inférieur à . on aura S'<<1+ e, ce qui démontre le théorème.

On démontrerait de même que s a pour limite l’. Sile domaine À est décomposé en p domaines partiels A,, A», ..., A», ilest clair qu'on a les relations [—1I,+.,..,+ 1, l= Tr, + ie I; et [: étant les nombres qui viennent d’être définis relatifs au domaine A,;.

119. Intégrales doubles. — Lorsque les deux nombres I et I'sont égaux, la fonction f (+, y) est dite intégrable dans le domaine A: La limite commune I des sommes S et s s'appelle l'intégrale double de la fonction f(x, y) étendue au domaine A. On la représente par la notation (!)

il = f Te, v}dedr,

et la portion A du plan est le champ d'intégration.

(7) On la représente aussi par ff F(x, y) dv, dw étant un élément d'aire,« (A)

et l’on emploie une notation analogue pour les intégrales multiples.