I. — PROCÉDÉS DE CALCUL

On voit immédiatement, comme dans le cas d’une intégrale imple, que, pour qu'une fonction f(x, y) soit intégrable ans À, il faut et il suffit que la différence S —s tende vers zéro orsque la plus grande dimension des domaines partiels tend ers zéro. Il en résulte que toute fonction continue f(x, y) est ntégrable. Supposons, en eflet, que l’on ait pris un nombre ositif tel que l’oscillation de la fonction soit moindre que e dans Oute portion de À dont toutes les dimensions sont inférieures à n. i toutes Les portions &;, &>:, ..., a, sont de dimensions inférieures “n, chacune des différences M;— m; sera inférieure à & et la difféence S — s sera inférieure à € Q.

On démontre comme plus haut (n° 74) que la somme ou le roduit d’un nombre quelconque de fonctions intégrables est aussi ntégrable. Si une fonction f(x, y) est intégrable dans un donaine À, elle est intégrable dans tout domaine A! intérieur à À ; i le domaine A est décomposé en plusieurs domaines partiels À,, \,, ..., À,, l'intégrale double étendue au champ A est égale à la omme des intégrales doubles étendues aux champs A,,A2,..., A

Considérons encore le cas plus général d’une fonction f(x, y) ornée dans le domaine À, et admettant dans ce domaine une infilité de points de discontinuité, tels qu’on puisse renfermer tous és points de discontinuilé dans un domaine à dont l’aire soit inféieure à tout nombre positif donné à l’avance. Une telle fonction st intégrable dans À. La condition pour qu'une fonction f (+, y) Oit intégrable peut, en effet, s'énoncer ainsi : il faut et il suffit ju'à tout nombre positif : on puisse faire correspondre un parage de À en domaines partiels tels que la différence corres- Jondante S —s soit inférieure à s. Cela résulte immédiatement le ce que la différence S — s est au moins égale à 1 — F.

Cela étant, supposons, pour fixer les idées, que la fonction ornée f (x, y) soit continue dans tout le domaine A limité par la ourbe fermée C, à l'exception des points d’une ligne L, qu lécompose le domaine À en deux domaines A’ et AfÿDansile lomaine A’, f(x, y) coïncide avec une fonction continue f,(æ4,Y) ët dans le domaine A” avec une fonction continue f,(x, y). Nous de faisons aucune hypothèse sur les valeurs de la fonction f (x, y) le long de L, sauf qu’elles restent bornées. De part et d'autre de a ligne L, menons dans A deux lignes infiniment voisines [/, L”,

s L e + [ 4 l/4 e. LL # LD # | apris re L'et L” soit inférieure a telles que l’aire comprise entre L/ et L > M 0

£ étant un nombre positif donné. Ces deux lignes L!, L’ déco

Fig. 18.

posent À en trois domaines A', A’, A, A" étant le domaine qu renferme L. Imaginons qu’on décompose A/, A", A! en domaine plus petits; la portion de S—s provenant de A" est inférieure à ; et, comme f(x, y)est continue dans les domaines A! et A",0 potion de S — s provenant de A!et A’ est aussi inférieure à . pourvu qu'on choisisse convenablement le mode de subdivision On aura done S— s <e; € étant un nombre positif arbitraire. f(x, y) est donc intégrable dans A. Il est clair que le raisonne ment est général.

L'intégrale double dans le champ A est égale à la somme des intégrales doubles dans les champs A’, A”, A”. Lorsque les lignes Eh L’ se rapprochent indéfiniment de L, l’intégrale double dans A! tend vers zéro; l'intégrale double dans A est donc la limite delle somme des intégrales dans les domaines A! et A, et ne dépend pas des valeurs de la fonction le long de la ligne L. Plus généralement, si une fonction LES Y) est intégrable dans un champ A,on peut changer arbitrairement la valeur de la fonction en une infinité de points, pourvu qu'elle reste bornée et que tous ces points puissent être renfermés dans un domaine à (connexe ou non), dont l'aire soit inférieure à tout nombre posiuf donné, sans changer la valeur de l’intégrale. Cette remarque est à rapprocher de la suivante. Si l’on calcule 1 comme limite de la somme S, on peut négliger dans celle somme les portions provenant d’un nombre quelconque de

domaines partiels, pourvu que la somme des aires de ces domaines tende vers zéro.