PROCÉDÉS DE CALCUL. 3ot
La définition de l'intégrale double peut être oénéralisée. joit (Ë;, n:) un point quelconque à l’intérieur ou sur le contour le la portion &;; il est clair que la somme DRASS ni) ©; est comrise entre les deux sommes S ets; elle a donc aussi pour limite intégrale double, quelle que soit la facon dont on choisit Île joint ie ne):
Le premier théorème de la moyenne s'étend sans difficulté aux ntégrales doubles. Soient f(x, y), 2(x,7) deux fonctions intérables dont l’une, © (x, y), garde un signe constant dans À ; nous upposerons, par exemple,o(x, y)>0. Si M et m sont les bornes le f(x, y) dans À, il est clair que l’on a
Mob, mu: f(E ni) EC m)oi> m o(Ér, ni)wi;
en ajoutant toutes ces inégalités, et passant à la limite, on en conclut que l’on a
(1) ÿ Dre net nard= af fete na dr.
u étant compris entre M et me. Si la fonction f(x, y) est continue, elle prend la valeur :: pour un point (6,n) éntérieur au contour C et l’on peut encore écrire
(1) fre J)o(x, y) dx dy = /f(6; a) f. air y) dx dy;
c’est la formule de la moyenne pour les intégrales doubles. Si par exemple (x, Y)—=1; l'intégrale J f az dy, étendue à la portion
du plan À, estévidemment égale à l’aire Q de cette portion du plan,
et la formule (1) devient
(2) JL ren à DD)
120. Calcul d’une intégrale double. —- Le calcul d'une intégrale double se ramène au calcul de deux intégrales simples prises suc- Cessivement. Prenons d’abord le cas où le champ d'intégration est un rectangle R, limité par les droites 2=%0 æ—=X,Yÿ—Y0;, Y—=YŸ; TX, Po Y: Imaginons ce rectangle décomposé en rectangles plus petits par des parallèles aux deux axes de coordonnées
PE Lis SE Ja (RL 2 An RER, 2,..., M). L’aire di rectangle élémentaire R;4, limité par les droites x — Liy5 CT = M
Y—Yk1, Ÿ —Yk, à pour expression (Ti 1) (Pak — Ya),
et l’intégrale double cherchée est la limite de la somme
te => DIET ik) (Li Gin) (Ya—yr a),
où (É4, nix) Sont les coordonnées d’un point quelconque pris à l'intérieur ou sur les côtés du rectangle R;4. Nous allons profiter de l’indétermination de ces points (£,x, ni)
rt
pour simplifier le calcul. Remarquons pour cela que, si une fonc
tion f(x) est continue dans un intervalle (a, b), et si l’on subdi=" vise (a, b) en intervalles points de division Li LS)
partiels d'une façon arbitraire par des”
++.) Tn 1, On peut choisir dans chaque intervalle (z;,, x;) une valeur £; de telle façon que l’on ait |
b (6) | fodr=ft)@ = +/e) Ga 21) +. PEN 2
il suffit, en effet, d'appliquer la formule de la moyenne à chacun des intervalles (GR La)s ++, (Æn s» D).
Cela étant, la portion de la somme S qui provient de la file de
rectangles comprise entre les deux droites + = x Pour expression
ii, T—L;, à
nm en ne D, à à Ce 0 ml Ce ET + à
(Ti 2) [ f(x, na)(Y1— Yo) APCE, Ni2) (V2 ne cb ET ACER nik) (VE RIEODS nes |
