PROCÉDÉS DE CALCUL
Nous prendrons Eu. = Em Tir, et nous choisirons 51, nis, --., de telle façon que la somme
fi, na) (Ya—To) + fi; ni2)(Ya— V1) He.
soit égale à l'intégrale f ACHATS l'intégrale étant prise Yo
en regardant æ;, comme constant. Si nous opérons de même avec
toutes les files de rectangles comprises entre deux parallèles vOIsines à Oy, nous pouvons écrire
(5) S=P(xo)(Ti— Lo) + (ri) (tdi) + Pain) (ri ia) tes
en posant, pour abréger,
Y B(æ) = fé J(æ, y) dy:
“Yo Cette fonction D (x), représentée par une intégrale définie, où x est considéré comme un paramètre, est une fonction continue de x; lorsque tous les intervalles x;— æ;, tendent vers zéro, la formule (5) montre que S a pour limite l'intégrale définie
jf
P(x) dx.
On a donc, pour l'intégrale double cherchée,
(6) free [ef rene
pour avoir la valeur de l'intégrale double, on dort d’abord intégrer f(x,y) entre les limites y, et Y,en y regardant x comme constant et y comme variable : le résultat est une fonction de la seule variable x, que l’on doit intégrer de nouveau entre les limites æo et X.
En opérant dans l'ordre inverse, c’est-à-dire en évaluant d’abord la portion de S provenant d’une file de rectangles comprise entre deux parallèles à Ox, on trouverait de même
fre y) dx dy = [af rene
" H ARE pute, ‘
et le rapprochement de ces deux formules permet d'écrire
JL 'æf
Y Y X LV) AVENIR J(x, y) dx; J(x, y) dy d a
nous retrouvons la formule d'intégration sous le signe |. La
démonstration suppose, comme la première (n° 99), que les limites”
Los Jo; X, Ÿ sont fixes, et que la fonction f(x,y) est continue. entre ces limites.
£ T Fe # »
Exemple. — Soit z — =. La formule générale nous donne
œ È x JJ Tax ar = ar [ dy /(R 4 Xo Yo +
= ar dr = CR 73) (My), ee 0 D'une façon générale, lorsque la fonction J (2928 le produit d’une fonction de la seule variable x par une fonction de la seulevariable y, on a |
RONCLT 1
To
X Y æ) d (y) dy; p( =>) (y) dy
les deux intégrales du second membre sont absolument indépen-. dantes l’une de l'autre.
M. Franklin (American Journal of Mathematics, t. NI, p. 77100 déduit de cette remarque une démonstration très simple de quelques théorèmes intéressants dus à Tchebichef. Soient o(æ) et V(æ) deux fonctions continues dans un intervalle (a, d), où a < b. L'intégrale double
IRÉCEPITCE OT
étendue au carré limité par les quatre droites æ — da x =0,7y est égale, d’après la rémarque précédente, à la différence
b b b SAbé 2(b— a) f° e(æ)4(@) dr — 2 fl Ce) de x [| VC) de.
Mais tous les éléments de l’inté deux fonctions p(x)et (x)
grale double ont le même signe lorsque les .
sont toujours croissantes ou décroissantes en
