REA UE AE LU ET PR AE

Car les a», par exemple, ne vont jamais en décroissant et sont tous plus petits qu'un nombre fixe. Tous les points de À, tendent vers un point limite M, de coordonnées (À, 1), Silué à l’intérieur du contour C ou sur ce contour lui-même. Le raisonnement

s'achève comme plus haut (n° 8); si le théorème énoncé était inexact, la fonction f(x, Y) ne pourrait être continue pour z — À, =}, Contrairement à l'hypothèse.

Corollaire. — Supposons qu'on ait pris les parallèles assez rapprochées pour que la différence des valeurs de w pour deux points ARRARERARX à une même partie soit moindre en valeur absolue que ) et soit n la distance de deux parallèles voisines.

Soient (æ, y ‘? (x', y’) deux points pris à l’intérieur ou sur le contour C, dont la distance est inférieure à n. Ces deux points

11. — FONCTIONS. — GÉNÉRALITES. 29 appartiennent à une même portion de À ou à deux portions ayant un sommet commun; dans les deux cas, la différence

Ré NA ENS

ne peut être supérieure en valeur absolue à 2 - — +. Donc, à tout

ww te

nombre positif s on peut faire correspondre un autre nombre positif n tel qu’on ait

LFCe, Y)— fe, y'i|<e,

pourvu que la distance de deux points de coordonnées (x, y) et (x', y'), pris dans À ou sur le contour G, soit moindre que n. En d’autres termes, toute fonction continue dans À est uniformément continue.

De la proposition précédente on déduit, comme plus haut (n° 8), que toute fonction continue dans À est nécessairement finie dans À. La méthode des subdivisions successives permet de démontrer que la fonction w atteint au moins une fois chacune des valeurs M et m7 pour des points à l’intérieur de C ou sur ce contour lui-même. Soient & un point pour lequel on à w — m, et b un point pour lequel w— M. Joignons à et bd par une ligne polygonale tout entière intérieure à GC. Lorsque le point (+, 7) décrit cette ligne, w est une fonction continue de la longueur de la ligne polygonale comprise entre le point & et le point (x, y); elle passe donc au moins une fois par toute valeur 1 comprise entre m et M (n° 8). Comme on peut joindre a et b par une infinité de lignes polygonales, on voit que la fonction f(x, y) prend une valeur x comprise entre » et M pour une infinité de points intérieurs au contour C.

Il est clair que toute fonction continue des deux variables x, y est une fonction continue de chacune des deux variables prise 1s0lément, mais la réciproque n’est pas toujours exacte.

2% lorsque l’une au moins des valeurs de x et de y est différente de zéro, et posons / (0,0) — o. La fonction ainsi définie est une foncüon continue de x lorsqu'on suppose y constant, et inversement. Cependant elle n’est pas une fonction continue des deux variables x

ety, pour le système de valeurs x — y — 0, car, si le point (x, y)

Prenons, par exemple, la fonction f(x,7) égale à

tend vers l’origine en restant sur la droite y —mzx, la fonc-

LE) 2m Sy . . .

———, et cette limite est variable list RES

uon f(x, y) a pour limite — avec mn. Dans cetexemple, il serait évidemment impossible de choisir pour f (0, 0) une valeur telle que la fonction f(x, y) fût continue à l’origine. Il n’en est pas de même pour la fonction f(x, y) égale \ “4 Û “4 4 , œ

able lorsque +x?+ y? est différent de zéro; si l’on pose en

Vri+ y?

outre f(0,0)—0, la fonction ainsi définie est continue pour

ZT —Y 0, car la valeur absolue de f(x, y) est inférieure à |[x|. Toutes ces considérations s'étendent sans difficultés aux foncuons d’un nombre quelconque de variables indépendantes.