I. — PROCÉDÉS DE CALCUL

même temps, ou si l’une d’elles est toujours croissante lorsque l’autre est décroissante. Dans le premier cas, les deux différences o(æ)—v(y), Y(æ)— Y(y) ont toujours le même signe, tandis qu’elles sont de signes différents dans Ie second cas. Par suite, nous avons

D b b (b—a) f eg) Ya)dr> f e(r) de x [ Y(x) de,

si les deux fonctions o(æ) et L(æx) sont toutes deux croissantes, ou toutes deux décroissantes dans l'intervalle (&, b). Nous avons au contraire

b b b Ga) [ e(æ)v(e) dr < f e(e) de x [| V(x) de,

lorsque l’une des fonctions est croissante et l’autre décroissante dans le même intervalle.

Le signe de l'intégrale double n’est pas douteux, lorsque CHEN TEZS car la fonction à intégrer est alors un carré parfait. On a donc la relation

@—a) [tr al [

quelle que soit la fonction o(x), l'égalité ne pouvant avoir lieu que si o(x) est une constante.

On peut déduire de ce résultat la solution d’un problème intéressant du calcul des variations. Soient P et Q deux points donnés du plan, de coordonnées (a, A) et (b, B) respectivement. Soit y — f(x) l'équation d'une courbe joignant ces deux points, f(x) étant continue, ainsi que sa dérivée première f’(æ), dans l'intervalle (a, b). : s'agit de trouver, parmi ces

p(æ) de | ù

4) courbes, celle pour laquelle l'intégrale y"? dx est minimum. «

En remplaçant o(x) par y' dans l'inégalité précédente, et observant qu'on a par hypothèse f(a) = A, f(b) = B, il vient

b G— a) f J?dx2(B— A}.

. Le : , (B—A) La valeur minimum de l'intégrale est donc égale à ne étrceite

valeur minimum est atteinte lorsque y’ est constant, c’est-à-dire lorsque la courbe se réduit à la ligne droite PQ.

121. Cas d’un champ quelconque. — Avant de passer au cas d’un champ d'intégration quelconque, nous allons d’abord généraliser la formule (6), en supposant que la fonction UE KV) admet dans le rectangle ABCD une ou plusieurs lignes de discon-

Cros L. 20

tinuité, tout en restant bognée. Pour fixer les idées, supposons qué la fonction f(x, y) est discontinue le long d’une ligne L (ou du moins sur certaines portions de cette ligne), joignant un point de AD à un point de BC, et représentée par une équation y = 9 p(x); 0 la fonction w(æ) étant continue dans l'intervalle (x6, X). Cette ligne L décompose le rectangle R en deux poruons, une portion R’ au-dessous de L, où l’on a f(x, y) = fi(x, y}, f(x, y) étant.

continue dans R, et une portion R” au-dessus de L où f(x, y)= fa, F),

la fonction f,(æ, y) étant continue dans R”. On a déjà remarqué (n°,119) que f(x, y) est intégrable. Pour calculer lintégralen double, nous décomposerons encore le champ en petits rectangles comme au paragraphe précédent. Considérons la file de rectangles comprise entre les deux parallèles x =; ,, x = x; à Oy. Lan droite + = #5, rencontre la ligne de discontinuité Len un pointm d’ordonnée w(æ;,), cette ordonnée étant comprise par exemple entre yx, et yx. Décomposons le petit rectangle limité par les quatre droites T— Xi 1, T—=%i, Y—=Yr 1, Y —Yrx en deux autres au moyen d’une parallèle à O x menée par m». En évaluant la por= tion de la somme, dont il s’agit de trouver la limite, qui provient de cette file de rectangles, on trouve encore que, en choisissant convenablement les points (£, n) dans chaque rectangle, cette somme a pour expression ù

ea] [OT Ji(æi-1, 9) a+ [

Yo p (Xi 1)

fa(æi-1: J) æ|

Le raisonnement s'achève de la même façon. En posant

je J(x, J) dy JE ex na f.

Yo {«

Jf2(æ, y) dy,

la valeur de l’intégrale double Je f(x, y) dx dy est donnée par.

la formule (6). Il est clair que la AAeQE est générale, et la conclusion est la même, quel que soit le nombre des es de discontinuité analogues à L dans le rectangle ABCD, pourvu que la fonction f(x, y) reste bornée. . 10

Cela étant, considérons maintenant un contour qui n’est ren= contré qu’en deux points par une parallèle à O y. On peut toujours