I. — PROCÉDÉS DE CALCUL

le supposer formé par deux segments de droites AA’, BB’, appartenant à deux parallèles + — à, x — b à l'axe Oy(a< b), et deux arcs de courbe Am, B, Alma. représentés par les deux équations 0x), Va— DT), VaZ V1, les fonctions v, et® étant continues entre & et b. Il peut d’ailleurs se faire que les points À et A’ 5e confondent, ainsi que B et B': c’est ce qui aura lieu, par exemple, si le contour est une courbe fermée analogue à une ellipse. Soit f(x, y) une fonction continue dans le champ R limité par ce contour et sur le contour lui-même. Pour calculer l'intégrale double, imaginons deux parallèles y — y5, y = Y à l’axe O x, telles que le champ R soit tout entier entre ces deux parallèles, et soit T le rectangle limité par les quatre droites + — à, D'UN ET à)

NN (fig. 20).

Les courbes Am,B, A'm;,B' décomposent le rectangle T en trois domaines, le domaine R, le domaine R' au-dessous de Am, B. et le domaine R" au-dessus de A/m,B'. Soit F(æ, y) une fonction auxiliaire définie de la manière suivante dans T: 1° F(æ, y)— f(x, y) dans R et sur le contour de R; 2 F(x, y) — 0 dans R/et R’.Ilest évident qu’on a

JL rmnaa = f [ renard.

RAR] HORCRAUE)

Mais la formule (6) est apphcable à la fonction F(x, y) qui admet les lignes de discontinuité A m,B et A/m, B', et l’on a

b Y Pa fe Péry)dr de || am f Era: (T) “a Fat

PER TTr

D'autre part, d’après la définition même dé la fonction F(x, 3), on à 1 :

-J2 Hi F(a,y)dy= | f(x, y) dy.

el, par conséquent,

ER SL, Y)dr dE 4 def fred

La première intégration doit encore être effectuée en regardant z.

FT SJ

comme constant, mais les limites y, et y2 sont elles-mêmes des à

fonctions de x, et non des constantes.

Exemple. — Soit à calculer l’intégrale double de la FOCUS à à lin 1

térieur d'un quart de cercle limité par les axes et la circonférence a2+ y? — R?— 0.

Les limites pour x sont o et R, et, x restant constant, y peut varier de om

à YÿR2— #?. L'intégrale a donc pour expression

‘ae f EE 4 4 [= [ VER Jr = fus SR +4 4 il y = pans L'TERS Me À

ae hs R* cette intégrale s'obtient aisément et a pour valeur Toi ù à a #4

Lorsque le champ d'intégration est limité par un contour de forme quelconque, on le décomposera en plusieurs parties, de façon que le contour de chacune d’elles ne soit rencontré qu en deux points par une parallèle à l’axe Oy. On pourrait aussi le décomposer en parties telles que le contour de chacune d'elles ne soit rencontré qu’en deux points par une parallèle à O x, et com mencer par une intégration relative à la variable +. Prenons, par exemple, une courbe fermée convexe comprise à l’intérieur du rectangle x = 4,2%, Y=CNP=CAMIORMENRSSS passent PA les quatre points À, B, C, D pour lesquels x ou y est minimum où maximum, Soient (A SES vi (2) Tee p2(x) les équations des

deux arcs de courbe ACB, ADB; soient de même æ, = (2

(1) Le lecteur est prié de faire la figure.