I. — PROCÉDÉS DE CALCUL

To —= b:(Y) Fe équations des deux arcs de courbe CAD, CBD:

v,(æ) eto,(æx) sont continues entre a et b, V,(y) et es sont continues lorsque y varie de c à d. On peut calculer l'intégrale double d’une fonction f(x, y), continue à l’intérieur de ce contour, de deux façons différentes et, en égalant les deux expressions obtenues, il vient

3 cl La (8) # az [ fan) dy= [ dy | J(x, y).dx;

a Yi

on voit que les limites sont tout à fait différentes dans les deux intégrales. Tout contour convexe fournit une formule de cette nature. Par exemple, si l’on prend pour champ d'intégration le triangle limité par les droites y —0, x —4a, y — x, on parvient à une formule donnée par Lejeune-Dirichlet,

f æf fena=f à f jan 0 0 0 LE se

122. Analogies avec les intégrales simples. — L'intégr ste [° f(®) dt,

considérée comme fonction de +, a pour dérivée f(x). Il existe un théorème analogue pour les intégrales doubles. Soit f(æ, y) une fonction continue à l’intérieur d’un rectangle limité par les droites æ = a, x — A, J=b, y=B(a<A,b<B). L'intégrale double de f(æ, y), étendue à l'aire du rectangle limité par les droites t=a, x=X, y =b, y =Y, (a<X<A, b<LY<B), est une fonction des coordonnées X, Y du sommet variable, qu’on peut écrire

+ Y REX, Ÿ) = de | PATATE « /b

Soit P(x) ah f(x, y) dy; une première différentiation par rapport

à X nous donne

x = PO) = FX») dr, et, en différentiant de nouveau par rapport à Y, il vient PE

La fonction la plus générale w(X, Y) satisfaisant à la relation précédente (9) s'obtiendra facilement en ajoutant à F(X, Y}) une fonction

er à Le

dont la dérivée seconde —. sera nulle. Elle est donc de la forme (n° 63)

| CAC 4 L (10) MAN) de [FC dy + (0) + YO)

o(X) et L(Y) étant deux fonctions arbitraires. On peut disposer de ces deux fonctions arbitraires de façon que, pour X = a, u(X, Y}) se réduise à une fonction donnée V(Y) et, pour Y=b, à üne autre fonction donnée U(X); ces deux fonctions étant liées nécessairement par la relation U(a) = V(b). En faisant successivement X = a, Y = dans la rela- 2 tion précédente, on a les deux conditions

V(N)=gp(a)+4(T), U(X)= o(X) +460) on en tire .

YOYI= V(T)—o(a), v(b)= V(b) =e(a), p(X) = U(X)— V(b)+vw(a),

et la formule (10) devient x Y .

hr) uX,Y)= f ae | fe, y) dy + U(X) + V(Y) — V(b). 2 s b :

Réciproquement, si, par un moyen quelconque, on a obtenu une fonc tion w(X, Y) vérifiant la relation (9), on trouve, par un calcul tout par au précédent, qu’on a, pour valeur de l'intégrale double, |

(12) 14 ae [7 f(x, y) dy = u(X, ) = u(X: 0) 4(@ 0) "ee b ! À : d #2

: #82 Le

Plaçons-nous maintenant dans une hypothèse un peu différente, en re nplaçant les deux côtés du rectangle par un arc de courbe tel que. AB. (Jig. 21), où l'ordonnée va constamment en diminuant lorsque l’abscisse augmente.

Soit f(x, y) une fonction continue à l’intérieur du rectangle ACBD; M étant un point quelconque de ce rectangle, les parallèles aux axe

menées par M rencontrent l’arc AB en deux points P et Q respectivement, , et l'intégrale double

FU) = ff, fn de dy,

étendue à l'aire du triangle mixtiligne PMQ, est une fonction continue dans ce rectangle, En écrivant cette intégrale pouE sous la forme (5), 0 on en déduirait aisément qu'elle satisfait aussi à la relation (9). On peut encore le voir directement comme il suit. LAS à X et à YŸ des accrois ssements # et ; on passe ainsi du point M au point voisin M!