SG

Uj, V; étant les coordonnées d’un point de la région aà;. À ce

point (ui, Vi) correspond un point Li= (Us PIE o(u;, bi) de la région a. En posant D{u, e) = F[f(u, ve), g(u, e)], nous pouvons donc écrire

n É D( ; DICO ED TC Pi) ES Via

21 LA

eu passant à Ja limite, nous obtenons l'égalité

(18) " ; F(x, y) dx dy 4 Se (A) (Ai

Donc, pour effectuer un changement de variables dans une intégrale double, on doit remplacer x et J par leurs valeurs en fonction des nouvelles variables u, 9, et le produit dx dy par |A] du de. Quant au nouveau champ d'intégration, nous avons expliqué comment on le détermine.

DC, +) Den | dé dy.

Pour trouver entre quelles limites doivent étre effectuées les intégrations qui donnent la valeur de la nouvelle intégrale double, il est en général inutile de tracer le contour C, du nouveau champ d'intégration A,. Considérons; en effet, et v comme un système de coordonnées curvilignes: lorsque, dans les formules (16), on attribue à l’une des variables w, v une valeur constante, et qu’on fait varier l’autre, on obtient deux familles de courbes # — const., 9 — const. D'après les hypothèses faites sur les formules (16), par

chaque point de la région À :1l passe une courbe et une seule de

chacune des deux familles. Supposons, pour fixer les idées, qu’une courbe # — const. rencontre le contour C en deux points seulement M,, M, Correspondant aux valeurs ui, u2 de u(u, < U2) et que toutes les courbes (y) rencontrant le contour C sont comprises entre les deux courbes e— a, P—b(a<b)(fig. 23). Alors, si l’on intègre d’abord par rapport à w, e restant constant, on doit faire varier & de 4, à wo (u, et uw, sont en général des fonctions de p) et

intégrer ensuite le résultat entre les limites @ et D.

Fe A,