II. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

L'intégrale double cherchée a donc pour expression

0 Us [l do fe F[f(u 0), o(u, v)1|A| du de.

D vas Un changement de variables revient au fond à décomposer le champ d'intégration en régions infiniment petites par les deux systèmes de courbes (x) et (v). Soit w Paire du quadrilatère curviligne limité par les courbes (u), (u + du), (v), (+ dv), où

Fig. 23 = ap v) er.

LDESS v+dv) CSSS SS PRESS PRRN V2 EC Se) ARR RO TRE TR (u+duw) NT

du et dv sont positifs; à ce quadrilatère correspond, sur le plan (uw, v), un rectangle de côtés du et de. On a donc, d’après la formule (17/), “—]|A(6, n)| du de, € étant compris entre w et u+du, n entre © et # + dv. L'expression [A(u, v)| du de s'appelle l’élément d’aire dans le système de coordonnées (u, v). La valeur exacte de w est w —||A(u,e)| +: | du do, s étant infiniment petit en même temps que du et dv. Mais, quand on cherche la limite de la somme EF(x,y)w,:on peut négliger &; en effet, A(u, v) étant une fonction continue, on peut supposer les courbes (uw) et (o) assez rapprochées pour que tous les & soient moindres en valeur absolue que tout nombre positif donné et, par conséquent, pour que la somme EF(x, y)e du do soit elle-même plus petite en valeur absolue que tout nombre positif.

126. Exemples : 1° Coordonnées polaires. — Supposons qu'on passe des coordonnées rectangulaires aux coordonnées polaires,

On a æ—pcosw, y = p sinw, et l’on obtient tous les points du plan en faisant varier & de zéro à +, et w de zéro à 2n. On trouve A— 6, de sorte que l’élément d'’aire est e dow db, comme Ja | Géométrie le montre sans peine. Supposons d’abord qu'il s'agisse. d'évaluer une intégrale double dans la poruon du plan limité par un arc AB qui n’est rencontré qu’en un point par une demi-droite issue de l’origine, et par les deux droites OA, OB faisant avec Ox des angles w,, w>. Soit R — o(w) l'équation de l’arc AB; w étant \ compris entre w, el W2, p peut varier de zéro à R, et l'intégrale i double de f(x, y) a pour valeur (OP ain du | J(e cosw, p sinw)p do.

S1 l'arc AB forme une courbe fermée comprenant l’origine à son Intérieur, on prendra w;—0, w2= 27—. Tout champ d’intégraion peut être décomposé en plusieurs régions telles que la précédente. Supposons, par exemple, que le contour C soit une courbe fermée convexe laissant l’origine à l'extérieur. Soient OA et OB les langentes menées par l'origine à ce contour, R,=ÿ, (a R:=— f,(w) les équations des deux arcs de courbe ANB, AMB. Pour une valeur donnée de w, comprise enire w, et wo, p peut

varier de R, à R, et l’on a pour valeur de l’intégrale double