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Hi du J(P Cosw, p sinw)p de.
2° Coordonnées elliptiques. — Considérons une famille de coniques homofocales x? : y?
sf END Ter here
où À désigne un paramètre arbitraire. Par tout point du plan passent deux coniques de cette espèce, une ellipse et une hyperbole, car l'équation (19) a, quels que soient x et J'; une racine À supérieure à c?, et une racine
positive a, inférieure à c?, De la relation (19) et de la relation analogue, où À est remplacé par &, on tire
(20) = #4, Re (o£p£e2£});
Pour éviter toute ambiguïté, nous ne considérons que la région du plan .des æy située dans l'angle + O y. Cette région correspond, point par point,
II. — CHANGEMENTS DE VARIABLES. 321 d'une façon univoque, à la région du plan (X, 4) limitée par les droites À = c?, M0; the Ce
Lorsque le point (À, 1) décrit le contour de cette région dans le sens
Fig. 24.
| Do LD 1
PE
indiqué par les flèches, les formules (20) montrent que le point (x, y} décrit les deux axes Ox, O y dans le sens indiqué par les flèches. La correspondante est donc inverse; c’est ce qu’on vérifie en calculant À,
LD CE 25 1 À meD(k Hu) 4 VX m(A— c?)(c— 4) 127. Changement de variables : deuxième méthode. -— Nous
allons établir la formule générale (18) par une autre méthode, qui s'appuie uniquement sur la façon même dont on calcule une intégrale double. Nous conservons, bien entendu, les hypothèses faites au début sur la correspondance entre les points des deux régions À, A,. Observons d’abord que, si la formule est vraie pour deux transformations particulières,
AIN TA u = fiCu’, »'),
y =g(uv), ep = (0)
elle est vraie pour la transformation obtenue en les eflectuant suc-
cessivement; cela résulte de la propriété connue des déterminants fonctionnels (n° 55)
D(x,y) __D(x, y) D(u,v) Dre Du) ED CES")
De même, si la formule est vraie pour plusieurs régions distinctes 2 B,C..0, L, auxquelles correspondent des régions A;, B,, GC, ..., L,, elle est vraie aussi pourlarégion  BE CE... + [. Enfin, la formule est vraie si le changement de variables se réduit à
une transformation de coordonnées T=%Lo+æ'CoOsX—y'sing, Y—=Yo+'SiINna+Y'COSA;
on a A— 1, et les deux intégrales sont égales
À F(x, y) dx dy (A)
= [ F(xo+ x'cosa — y'sins, yo + æ'sina + y'cosa) dx’ dy", © (4) | d’après la définition même des intégrales doubles. Cela posé, nous allons d’abord démontrer la formule pour la transformation particulière (21) æ=çe(x, ÿ)h, y =Y" A
