CHANGEMENTS DE VARIABLES
des points m5, m,, m,, m!. On a, en appliquant la formule du changement de variable dans une intégrale simple,
F " nr ne IROCPE MIO NAT
Lo
y et” étant considérés comme constants, et, par suite,
Ya En Yi ; x! d JL ff Feœnd-f dy [Fey SE de Yo 7 Lo Yo lo (
à ; > RS tte SE | Mais le jacobien se réduit ici à sr et la formule précédente peut
s’écrire
JSF na de [ [ rte raté dr (A) * (41
, s “ro /.
La formule se démontre de la même facon si —Æ est négatif et
s'étend évidemment à une région limitée par un contour de forme quelconque.
On établira tout pareillement qu’en posant
(22) Li", } = Ÿ(x", y’)
on a la formule
VITE F(ay)drdy= | [ Pia, 4, y)11a| de dy (A) “° (A)
le nouveau champ d'intégration A’ correspondant point par point à la région A.
Considérons maintenant les formules générales de transformation
(23) r=f(ru y) Y=fi(ri M),
et, pour plus de clarté, désignons par (x, y), (x,, y,) les coordonnées de deux points correspondants », M, par rapport à un même système d’axes. Soient A, A, les régions correspondantes limitées par les contours C, C,. Si, aux deux points », M,, on associe un point »/ de coordonnées æ/— x, Y'=?Y, ce point m' décrit une région auxiliaire A/, et nous supposerons d’abord qu’elle correspond point par point à chacune des régions À, A,. Entre les
six coordonnées æ, Y, Zi, Yi &', Y', On à les quatre relations D fr 10 PEN EL E ARS ET) T'= Li, Y=J;
on en tire d’abord
(24) g'=%, J'= fit; Yi):
ce qui définit une transformation de la forme (22) De la relaion y'=/,(zx', y) on tire ensuite y, =T(x',y )et, par suite,
(25) CA AE ONE RUE où Y =}Y"
La transformation considérée (23) résulte donc des deux transformations particulières {24) et (25), auxquelles s'applique la for= mule générale. Elle s'applique donc aussi à la transformation (23) elle-même.
Remarque. — Nous avons supposé que la région décrite par le point »/ correspondait point par point à chacune des aires À, À... On peut toujours supposer qu'il en est ainsi. Eu effet, considérons les courbes de la région À, qui correspondent aux droites de À parallèles à Oæ. Si ces courbes ne sont rencontrées qu’en un point par une parallèle à Oy, il est clair qu’à un point » de À ne corresz pondra qu’un point m/ de À’. Il suffira donc de partager l’aire À, en régions assez petites pour que, dans chacune d’elles, la condition soit satisfaite. Si ces courbes étaient des parallèles à Oy, on commencerait par effectuer sur (%1, Y1) une transformation de coordonnées.
198. Volumes. — De même que la notion intuitive de l'aire d’une courbe plane conduit à la notion analytique d’intégralé définie (n° 69 à 71), de même l'expression analytique que nous avons prise pour définition d’une intégrale double pourrait se déduire de la notion intuitive du volume limité par un cylindre, un plan perpendiculaire aux génératrices et une portion de surface quelconque. Laissant de côté cette extension bien facile du raison= nement employé plus haut (n° 70), nous allons inversement donner une définition purement analytique du volume limité par une surface fermée. Soit Z une surface fermée, qui décompose l’espace en deux domaines distincts, un domaine intérieur D;
