II. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

et un domaine extérieur D'; deux points d’un même domaine peuvent toujours être joints par une ligne polygonale qui ne lraverse pas la urface X, tandis que toute ligne polygonale joignant deux points de deux domaines différents à au moins un point commun avec >.

Pour définir le volume d’un pareil domaine, nous suivrons exactementla même marche que pour définir l’aire d’une courbe plane. Appelons domaine polyédral tout domaine borné dont la frontière est constituée par un nombre fini de domaines polygonaux plans, qu’on appelle ses faces. Tout domaine polyédral peut s’obtenir par la réunion d’un nombre fini de polyèdres convexes, et son volume a été défini en Géométrie élémentaire. Cela posé, soient P et p deux domaines polyédraux, le premier contenant D, le second contenu dans D, V, et V, leurs volumes respectifs. On a toujour V,> V,,et par suite les nombres V, ont une borne inférieure V, tandis que les nombres V, ont une borne supérieure V'; de plus, on a V'£V. Lorsque V'— V, on dit que le domaine D a un volume déterminé, et Von prend le nombre V pour mesure de ce volume. Les propositions suivantes se démontrent comme dans le cas des aires planes (n°° 80 et 81) :

Pour que le domaine D ait un volume, il faut et il suffit que, quel que soit le nombre positif , on puisse trouver deux domaines polyédraux P et p, l’un contenant D, l’autre contenu dans D, tels que la différence V,— V, soit inférieure à €.

Siun domaine D peut se décomposer en plusieurs domaines D,, D;, ..., D,, dont les volumes sont respectivement NAS V,, ..., Va, le domaine D admet un volume

VVi Vo. Ve.

Si l'on divise l’espace en cubes de côté s au moyen de plans parallèles à trois plans rectangulaires et équidistants, la somme des volumes des cubes intérieurs à D a pour limite le volume V, lorsque le côté p tend vers zéro, tandis que la somme des volumes des cubes qui ont un ou plusieurs points communs

avec la frontière de D tend vers zéro.

Prenons d’abord un domaine D limité par un cylindre dont la section droite est une courbe plane fermée C sans point double,

par un plan Q perpendiculaire aux génératrices du cylindre et par une portion de surface S, intérieure au cylindre, que toute paral-, lèle aux génératrices du cylindre rencontre en un point et en un seul. Ayant pris le plan Q pour plan des xy, une parallèle aux génératrices du cylindre pour axe des z, soit z = f(x, y) l'équaz uon de la surface S; f(x, y) est une fonction continue à l'intérieur du domaine plan d intérieur à la courbe C, section droite dus cylindre par le plan z — 0. Nous supposerons de plus que l’ona f(x,y)Zo. Cela étant, effectuons un carrelage du plan des zy au moyen de parallèles aux axes équidistantes de o, puis formons deux domaines polyédraux P et p de la façon suivante. Sur chaque carré mixte du plan des xzy plaçons un prisme droit ayant pour base ce carré et pour hauteur la borne supérieure M de f(x, y}; sur chaque carré intérieur à G placons de même un prisme droit ayant pour base ce carré et pour hauteur la borne supérieure M; de f(x, y) dans le carré. Il est clair que cet ensemble de prismes forme un domaine polyédral P qui contient D. Sur chaque carré intérieur plaçons de même un prisme droit ayant pour base ce carré et pour hauteur la borne inférieure m; de f(x, y) dans le même carré. L'ensemble de ces nouveaux prismes forme un domaine polyédral p contenu dans D. La différence Vr— V) des volumes de ces deux domaines polyédraux est inférieure à Mr, + Aw, n étant la somme des aires des carrés mixtes, A l’aire du domaine d, w Ja borne supérieure de l'oséillation de f(x, y) dans un carré de côté p. Or, on peut prendre p assez petil pour que chacun des pro= duits Mn, Aw soit inférieur à tout nombre donné +. Le domaine D a donc un volume déterminé. Ce volume est égal à l’intégrale double

VE Î fCæ, ») dx dy, AUS car, quel que soit &, le volume V, est supérieur à cette intégrale double, tandis que le volume V, lui est inférieur.

Un domaine limité par une surface fermée qui n’est rencontrée qu'en deux points par une parallèle à Oz peut être considéré comme la différence entre deux domaines tels que le précédent. Le volume sera donc égal à la différence de deux intégrales doubles. Enfin, tout domaine limité par une surface fermée quelconque, qui