II. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

La surface s; se projette sur le plan tangent en M; suivant une portion de surface plane d’aire 5;. Lorsque le nombre x augmente indéfiniment, de facon que les régions r; tendent vers zéro dans toutes leurs dimensions, la somme de ces aires planes

C1 Oo... FO = Q

tend vers une limite qui est, par définition, l’aire de la surface S, Nous avons en effet, d’après ce qu’on vient d'établir,

0 = 2; | VE; Gi FP+ ci),

w étant l'aire de r;, u!, v, les coordonnées d’un point de r';, e; un infiniment petit. La somme Zwje; tend vers zéro, puisque e; tend uniformément vers zéro, et par suite Q a pour limite l'intégrale

double (29) = ff VEG— Fr au de.

Telle est l'expression de l’aire de la surface S (!).

132. Élément de surface. — L'expression WÿEG — F?du de est l'élément d’aire de la surface S dans le système de coordonnées (u, e). L’aire de la petite portion de surface comprise entre les courbes (u), (u+ du), (v), (v+ de) a pour valeur exacte

(VEG — F?+ e) du dy, & étant infiniment petit en même temps que du et dv, et l’on voit comme plus haut qu’on peut négliger le terme < du de. Quelques considérations de Géométrie infinitésimale permettent de retrouver aisément la valeur de l'élément d’aire. En effet, si nous assimilons la portion de surface considérée à un parallélogramme situé dans le plan tangent à S au point (w, e),

EE — — ——

(1) Gette définition revient, au fond, ‘à remplacer un morceau infiniment petit de la surface S par un morceau infiniment peLit du plan tangent en un point de ce morceau. Il semblerait plus naturel d'adopter une définition analogue à celle de la longueur d’un arc de courbe, c’est-à-dire de définir l'aire de S comme la limite de l’aire d’une surface polyédrale inscrite dont Île nombre des faces augmente indéfiniment, la longueur maximum des arêtes tendant vers zéro. On doit à M. Schwarz un exemple simple qui met bien en évidence un fait d'apparence paradoxale : l'aire de cette surface polyédrale ne tend pas vers une limite si l’on n’ajoute pas quelque autre condition (voir l'Exercice 12 de la page 354).

l’aire sera égale au produit des longueurs des deux côtés par le sinus de l'angle des deux courbes (u) et (»). Si l'on confond de même l’accroissement de l’arc avec la différentielle ds, les lon-

gueurs des côtés seront, d’après la formule (28), VE du, VG dv, en supposant du et de positifs, Quant à l’angle 4 des deux courbes,

les paramètres directeurs des tangentes à ces courbes sont respec-

- 19 03 ox 0 03 Üvement , 4 re bé

— et —; —, —: on a donc ou” ou ou 09” de” d

0x 07 du 06 F COS EE = —————————— —" — —, s dx \ ? : 0x \ ? VEG GNT NS VEG—F

el, par suite, sin& — : En faisant le produit, on retrouve

bien l'expression de l'élément d’aire. On peut remarquer, sur la formule qui donne cosa, que le coefficient F est nul lorsque les deux familles de courbes (u) et (e) forment un réseau orthogonal, et dans ce cas seulement.

Lorsque la surface S se réduit à an plan, on retrouve la valeur obtenue plus haut (n°124). En effet, si l’on suppose d(u,v) — 0, on a

dx \ ? dy \2 ôx \ 2 2 = (5)+ (2), PR ESEES

du, | du-dv. | 'êutoé |

uw o0v À DE Le A? — = — EG — F?:

| dy dy EN ee ou de VEG — F? se réduit donc à [A|.

Exemples. — 1° Soit à trouver l'aire d’une portion de surface

représentée par l'équation 3—=f(x,;y), qui se projette sur le plan æOy suivant une région R où la fonction f(x, y) et ses of

r n , 0 . i dérivées p — CL = sont continues. En prenant x et y pour

variables indépendantes, ontatE 4 Er EE à 2:04, 0e 1-4-Qù