CHANGEMENTS DE VARIABLES

et l'aire cherchée est représentée par l'intégrale double

à a= [fra dr dr ff ET * (R) « m COSY

y désignant l'angle aigu que fait avec Oz la normale à la surface.

. 2° Soit à calculer l’aire d’une portion de surface de révolution comprise entre deux parallèles. Prenons pour axe des z l’axe de la surface, et soit z — f(x) l'équation de la méridienne dans Île plan des æz. Les coordonnées d’un point de la surface sont

ip COS 0), y =pSinw, a CO):

en prenant pour variables 1 ndépendantes les coordonnées polaires p et w de la projection sur le plan xO y. On a ici

ds? dp?[i+f?2(p}l + po? duw?, É—if2(5), 10" io

Pour obtenir la portion de surface comprise entre Îles deux parallèles de rayons p, et ba (pi pa); il faut évidemment faire varier o de p1 à p2 et w de zéro à 27. On a done, pour l'aire cherchée,

Da 27 Pa Re 2e LS à= f ds | VF D dos f evi+f?(e) dr, Pi HE en et l’on a une seule quadrature à effectuer. En désignant par s Parc

de la méridienne, on a

ds? = do?+ da? = dp?[i+ f?(e)},

et la formule précédente peut s'écrire

Ç2 HA D a! 270 ds.

L'interprétation géométrique est immédiate; 272 ds est la surface latérale d’un tronc de cône dont le côté serait ds et dont la circonférence moyenne aurait pour rayon p. în assimilant l'aire comprise entre deux parallèles infiniment voisins à l'aire latérale d’un tronc de cône, on retrouve précisément la formule qui donne 4. Par exemple, l’aire de la calotte d'un paraboloïde de

révolution, engendré par la rotation de la parabole 3?— 2 p3,

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