III. — EXTENSION DE LA NOTION D'INTÉGRALE DOUBLE

donnée de même par la formule Q = sf f Vi+p?+ q° dx dy:

TL remplaçons p et g par leurs valeurs — = et ue et passons aux cCcoor-

données polaires. Il vient

NUL R 0 do ÿ ss COS 0) 0 = du [° un ll R(VR2— p2)| du, 0 0. VR2— p? 0

ou encore

Q — { R? G—sinu)de = {Re ( 1).

Si l’on retranche de la surface totale de la sphère la portion intérieure aux deux cylindres, l’aire de la partie restante est égale à

III. — EXTENSION DE LA NOTION D’'INTÉGRALE DOUBLE. INTÉGRALES DE SURFACE.

134. Intégrales doubles dans un champ illimité. — Soit LCL une fonction bornée et intégrable dans toute portion du plan exté-

rieure à une courbe fermée T. L'intégrale double ff f(x,y) dx dy, étendue au domaine compris entre l et une autre courbe fermée C extérieure à l, a une valeur finie. Si cette intégrale tend vers une limite lorsque la courbe C s'éloigne indéfiniment dans tous les sens, cette limite est par définition l'intégrale double de TES) étendue à la région du plan extérieure à T. Nous disons qu'une courbe variable C s'éloigne indéfiniment dans tous les sens si, à parur d’un certain moment, cette courbe reste à l'extérieur d’un cercle de rayon R arbitraire, décrit d’un point fixe pour centre. La condition nécessaire et suffisante pour que cette limite existe est la suivante : soient C, C/ deux courbes fermées quelconques enveloppant la courbe F, et 3(C, C') la différence des deux intégrales doubles étendues aux deux domaines limités par les courbes (T, C) et (T, C) respectivement. ! faut et il suffit que la différence à (C, C') tende vers zéro, lorsque les deux courbes or LE 22

C et C s'éloignent indéfiniment dans tous les sens, indépendamment l’une de l’autre. :

Il est évident que cette condition est nécessaire. Elle est aussi suffisante. Considérons, en effet, une suite de courbes fermées Ci, Co, ..., Cn, ... entourant F, s’enveloppant mutuellement et s’éloignant indéfiniment lorsque n croît indéfiniment. La différence Ô(Cm, Gn) tendant vers zéro lorsque les deux nombres m et n augmentent indéfiniment, l'intégrale double étendue au domaine compris entre l et C, tend vers une limite [ (n° 5). Prenons maintenant une autre courbe fermée C/, de forme quelconque, qui s'éloigne indéfiniment dans tous les sens. Puisque, par hypothèse, la différence à(C, C») tend vers zéro, l’intégrale double étendue au domaine compris entre l et C’ tend aussi vers |.

Nous avons supposé, pour fixer les idées, que le domaine d'intégration était illimité dans tous les sens, mais il est clair que cette hypothèse n’a rien d’indispensable. On peut, par exemple, considérer un champ d'intégration limité par deux droites fixes, et une courbe variable qui s'éloigne indéfiniment dans l’angle formé par ces deux droites. Les raisonnements qui précèdent s'appliquent sans modification.

: Exemple. — Soit f(x, y) une fonction qui, à l'extérieur d’un cercle de rayon «a décrit de l’origine comme centre, est de la forme N CP à E FC Re

le numérateur d(æ, y) restant compris entre deux nombres positifs »# et M. L'intégrale double étendue à la couronne circulaire comprise entre deux cercles de rayon r et R, décrits de l’origine pour centre, a pour expression

2T 1 do f. "Hpsosu parole,

elle est donc comprise entre les deux Fate tes

R kR oem f Las 27 M e ge à DAME pra

Pour que cette intégrale tende vers zéro lorsque 7 et R augmentent indéfiniment, il faut et il suffit que l’on ait « >1. L'intégrale double, étendue au domaine compris entre deux courbes fermées quelconques,