III. — EXTENSION DE LA NOTION D'INTÉGRALE DOUBLE

tendra alors vers zéro lorsque ces deux courbes s’éloignent indéfiniment, car ce domaine est compris dans une couronne circulaire telle que la précédente. L'intégrale double de f(x, y), étendue à la région du plan extérieure au cercle de rayon a, a donc une valeur finie si l’on a « >1, et dans ce cas seulement.

De la condition nécessaire et suffisante obtenue plus haut, il

résulte aussitôt que l'intégrale double ff f(x, ) dæ dy a une limite toutes les fois que l'intégrale { | (x, y)|dzx dy en a une.

Mas ici se présente une distinction importante. Lorsque la fonction f(x, y) conserve un signe constant, si, par exemple elle est positive, pour reconnaître si l'intégrale a une limite, 1l suffit de considérer une suite de courbes fermées C,, CG, ..., Cr, ... s’enveloppant mutuellement, de telle façon que GC; s'éloigne indéfiniment lorsque n croît indéfiniment, Si l'intégrale double 1, — sé JE f(x, y) dx dy, étendue à la région R, comprise entre T et C,, tend vers une limite I, lorsque » croît indéfiniment, l’intégrale [', étendue à la région R’ compris entre F et une courbe fermée C’ de forme quelconque qui s’éloigne indéfiniment dans tous les sens, tend vers la même limite. En effet, le contour C' est compris entre deux contours C», Cmyn, qui s'éloignent indéfiniment en même temps que C’. On a donc Pl 17,,, et par suite l’ a pour limite I.

S1 la fonction f(x, y) n'a pas un signe constant, l'intégrale double étendue à un domaine quelconque est la différence de deux intégrales doubles à éléments positifs

fre ae dy = [ frite de dy — [ [nt nur,

tandis que l’on a

[fre nie dy = [ fre par ay + [ fat rar dy:

DO USE 0, el, fie 0,11 si f<Co.. et. de MO 20, si./ —>0, el fo——f, s1 fo. Cela étant,, si l'intégrale double f 11 Lf(æ, y)| dx dy n’a pas de limite, l’une au

moins des intégrales doubles ff, dx dy, [ [2 dx dy croît indé-

finiment. Si les deux intégrales augmentent indéfiniment l’une et l’autre, leur différence est indéterminée. On démontre, en effet, en raisonnant comme pour les séries semi-convergentes (voir plus loin, n° 165), qu’il est possible de choisir une famille de courbes

variables telles que la limite de l'intégrale double f /.f(æ; y) dx dy

soit un nombre quelconque donné à l'avance, en supposant la foncuon f bornée.

Voici un exemple dû à Cayley. Soit f(x, y) = sin(x?+ y?); si nous intégrons d’abord à l’intérieur d’un carré de côté a, nous trouvons pour l'intégrale double

«a « JE da f sin(æ?+ y?) dy 0 0 «a a a «a ie sin x? dx dl cos y? dy + cos x? de f sin y? dx. 0 0; ;

Lorsque a augmente indéfiniment, les intégrales qui figurent au second membre ont une limite (n° 92). On démontre que cette

AE : Te T SUITE limite est égale à M/S et le second membre a pour limite =:

Au contraire, si l’on intègre à l’intérieur d’un cercle de rayon R, on a pour l'intégrale double

: ps TE f do p sin p? do =— + [cosp2]5 = = [1 —cosR?]; et le second membre est indéterminé lorsque R croît indéfiniment.