III. — EXTENSION DE LA NOTION D'INTÉGRALE DOUBLE

indéfiniment. En effet, si, dans l'intégrale qui définit la fonction T'(p) (n° 94),

+ © Nine A tPcent dt:

SEM) on pose £{ — æ?, il vient

+ QE) BUTS fe HR CEE

tt,

L'intégrale double a donc pour limite le produit T(p)T(gq).

Intégrons maintenant à l’intérieur d’un quart de cercle limité par les axes et le cercle +? + y? = R?; nous avons pour l'intégrale double, en coordonnées polaires,

4 Door erphdois | 2cos?P—10 sin?9-1% do.

Lorsque R augmente indéfiniment, l'intégrale double a donc pour limite

en posant

(32) B( p, q) = 2cos?P-19 sin29-16 do;

en écrivant que ces deux limites sont les mêmes, on a la relation

(33) T(p)l(g)=T(p+g)B(p?,gq).

> , - ,. , , pe, 6 F 7 0e a à L'intégrale B(p,gq) est l'intégrale eulérienne de première espèce; on peut encore l'écrire, en posant sin?o — f,

Rs en =

1 Û 1) BCp,9)= [| t9—1(1—t)r-1 dt,

La formule (33) ramène le calcul de la fonction B(p,q) à celui de la

fonction T. Si l’on y fait, par exemple, p = q — = il vient

Le (1) = en [2 ES

et par suite (2) = ÿ7. La formule (31) donne alors + ps f éidt dE -

D'une façon générale, en faisant g —1—p et supposant p compris

entre oet f, on a

Le Me, r(pra—p)= Bip) f (=)

on verra plus tard que cette intégrale a pour valeur Ro

136. intégrales de fonctions non bornées. — On définit de la même facon l'intégrale double d’une fonction f(x, y) qui devient infinie en un point ou tout le long d’une ligne. Pour cela, on commence par enlever le point ou la ligne du champ d'intégration en les entourant d’un contour très petit, ou très voisin de la ligne de \discontinuité, et l’on fait ensuite diminuer indéfiniment le domaine intérieur à cette ligne. Par exemple, lorsque, dans Île voisinage d’un point (a, b), la fonction f(x, y) peut s’écrire

YCæ, y) PENSE Te at+ GENE

où la valeur absolue de d(x, y) est comprise entre deux nombres positifs »m et M, l'intégrale double de f(x, y), dans une région qui ne contient pas d’autre discontinuité que le point (&, b), a une valeur finie pourvu que « soit inférieur à un, et dans ce cas seulement. La démonstration est toute pareille à celle qui a été donnée tout à l’heure (n° 134). |

Considérons encore une fonction f(x, y) satisfaisant aux condi- Uons suivantes : 1° elle est continue dans le domaine A défini par les conditions a£x£b,0£7 PURE g(x) étant une fonction continue positive entre a et b; 2° dans le voisinage de la ligne DA AU SIN est de la forme

ja (x, y) PTE Ty E

4. étant un exposant positif, et le numérateur restant borné. L’intégrale double étendue au domaine à limité par les droites x — 4, x — b et les deux courbes y = g(x)—e, y—g(rx)—"n, setn étant deux infiniment petits positifs, a pour expression

1 af” Ylx, g(æ)—u]du She ë AN us ER NER

et tend vers zéro pourvu que x soit inférieur à un. L'intégrale double de f(x, y), dans le domaine À, a donc une valeur finie.