III. — EXTENSION DE LA NOTION D’INTÉGRALE DOUBLE

Quand on a reconnu que l'intégrale double d’une fonction non bornée dans un certain domaine a une valeur déterminée, on peut, pour le calcul de cette intégrale, procéder comme dans le cas d’une fonction bornée. Soit, par exemple, à calculer l'intégrale double de la fonction

n PAR) 2 “44 à l’intérieur du triangle T limité par les droites y—=0, y =x, x — à, la fonction L étant continue dans ce domaine, et à étant inférieur à un. Cette intégrale est la limite de l'intégrale double

Da)

l'— a de ue fa, y) dy, lorsque h tend vers zéro. Mais on a 1 Fa Î fendg-f sent, 0 10)

n(æ, h) étant un infiniment petit qui tend uniformément vers zéro avec À, lorsque æ est dans l'intervalle (0, æ). Par suite, nous pouvons écrire

“eu ae f. fe n'dy— f n(z, k) dx, h 20 /

et l’a pour limite l'expression

on de [ fl, y) dr.

0 Et

On trouverait de même pour | l'expression E P

RER dy | fl, y) dx.

La formule de Dirichlet (n° 121) est donc encore applicable.

Remarque. — Lorsque l'intégrale double d’une fonction non bernée, qui n’a pas constamment le même signe dans un domaine R, n’a pas de valeur déterminée dans ce domaine, on peut avoir une indétermination toute pareille à celle qui a déjà été remarquée dans le cas d’un champ illimité. Supposons, pour fixer les idées, qu’on ait un point de discontinuité. Si l’on isole ce point au moyen d’une courbe c, l'intégrale double étendue

au Champ qui reste peut avoir des limites tout à fait différentes, suivant la forme de la courbe c. Prenons, par exemple,

Lire

le champ d'intégration étant le rectangle R limité par les droites x = 0, T4, Y =0, y —b, a et b étant positifs. Commençons par isoler l’origine en retranchant la portion intérieure au rectangle limité par les axes et les droites x —e, y — &', e et e' étant deux nombres positifs très petits. Le champ restant R' peut être décomposé en trois rectangles au moyen des droites =0,æ=e, x =a, J =0, y =e", y = b. D'autre part,ona

2 "1 : fe) = pe (ave tang À);

ét, en appliquant la formule (12) à chacun des trois rectangles successivement, il vient, après quelques réductions faciles,

là

[ f J(æ, y) dx dy = Arc tang Arc tang —ï (R’)

On voit que la limite de cette intégrale double varie avec la limite du rap- Ÿ

port —, lorsque e et e’ tendent vers zéro (cf. n° 99).

137. Équation fonctionnelle d’Abel. — L'étude d’un problème de Mécanique a conduit Abel à l'équation suivante :

(35) (AN NES 0 Vr—y

où w(æ) est une fonction donnée, continue dans un intervalle (0, &), a étant positif, et (y) la fonction à déterminer. Si cette fonction est continue pour y = 0, il est clair qu'on doit avoir &(0) —o. C’est ce que nous supposerons tout d’abord.

SH étant

Multiplions les deux membres de l'équation (35) par a—% compris dans l'intervalle (0, a), et intégrons les deux membres de la nouvelle égalité entre les limites o et «. Il vient

to(æ)de f*, f* f(yd LE LVÉS

ou, en appliquant la formule de Dirichlet à l'intégrale double du second

membre, CAR CINE MP REP Î Va— x J #6 À Via x)(x — y)

III. — EXTENSION DE LA NOTION D'INTÉGRALE DOUBLE. 34 La première quadrature s’effectue immédiatement en posant

er 2 CPR æi=\y C0s20 + sin, et il reste

(36) J p(r) ar = T (y) dr.

0 Va SE 0

Les deux membres de la formule sont nuls pour x —0; il suffira donc d'exprimer que les dérivées sont égales. La dérivée du second membre

: est tr f(«): la dérivée du premier membre, qui a été déjà calculée (n° 100),

a pour expression

12 o(T) + 2xp(x) 3,

2aVa—r

ou, comme on le vérifie immédiatement, w'(æ) dx I ———— 9 [2 = = = Let) Val

Par hypothèse #(0) = o; il reste donc

(37) J(a )= = Res

Si o(o) n’est pas nul, on peut écrire l'équation (35) sous la forme équivalente (n° 100).

DC) (x) — 00) = | 2 dy.

V0 Vz —Y

Le premier membre de la nouvelle équation s’annule pour æ = 0, etil vient, d’après la formule (37), en y remplaçant a par y,

eu LOI ei(æ) dr (38) f(y)= = + ent.

VY o Vyr—+

138. Intégrales de surface. — Soient S une surface régulière, F(M) une fonction qui varie d’une manière continue avec la position du point M sur cette surface. Les raisonnements des n° 118-119 peuvent être repris sans modification en remplaçant les portions de plan par des portions de la surface S. Imaginons qu’on décompose S en portions plus petites s1, M LS, d'airésto1, 02, .. +, on,.et quon prenne à, volonté. un point M; dans s;. La somme ZF(M;)5; tend vers une limite lorsque le nombre n

augmente indéfiniment, de facon que les dimensions de chaque portion de

surface tendent vers zéro. Cette limite est une intégrale de surface

étendue à la surface S et se représente par ff F ds. Si les coordon- | ; (S)

nées æ, y, 3 d’un point de S sont exprimées en fonction de deux paramètres u, #, de façon que S corresponde point par point à un domaine D du plan (u,v), F(M) est une fonction continue f(u, e) des variables w, & dans ce domaine, et l’intégrale de surface a pour expression, avec les notations du n° 131, v

[fu 9) EG du de.

Dans beaucoup de questions, où interviennent les intégrales de surface, F(M)} est une fonction linéaire des cosinus directeurs de la normale à la surface. Nous supposerons, dans ce qui va suivre, que cette surface présente deux côtés distincts, que si l’on peint, par exemple, un des côtés en rouge, l’autre en bleu, il est impossible de passer du côté rouge au côté bleu par un chemin situé sur la surface sans franchir une des courbes qui limitent cette surface (1). Regardons la surface S comme une surface matérielle ayant une certaine épaisseur, et soient »m, m' deux points infiniment voisins, pris sur deux côtés différents. Menons au point m la nor— male mn suivant la direction qui ne traverse pas la surface; on dit, pour abréger, que la direction ainsi définie sur la surface correspond à ce côté. La direction de la normale à l’autre côté de la surface au point ”! sera opposée à la première. Par exemple, toute surface S qui ne peut être ren-

contrée en plusieurs points par une parallèle à O3 a évidemment deux

côtés ; les directions correspondantes de la normale font respectivement un angle aigu et un angle obtus avec Oz; le côté supérieur est celui pour lequel la normale fait un angle aigu avec Oz.

Cela posé, soient P(x, y,3), Q(x, 7,2), R(x, y,3) trois fonctions continues sur S; a, $, y les angles que fait avec les axes la direction de la normale correspondant à un côté déterminé de la surface. Les intégrales de surface qui interviennent le plus souvent dans les applications sont les intégrales de la forme

(39) d (P cosa + Q cosB +R cosy) do ; (S)

quand on change le côté de la surface, cosa, cos$, cosy, et par suite l'intégrale elle-même, changent de signe. Supposons, comme tout à l'heure, que les coordonnées d’un point de S soient exprimées en fonction de deux paramètres u,#, de façon que S corresponde point par point à un

(1) Il est très facile de former une surface ne satisfaisant pas à cette condition. Il n’y a qu’à déformer une feuille de papier rectangulaire, telle que ABCD, de facon à coller le côté BC sur le côté AD, le point C venant en A et le point B. en D.

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