III. — EXTENSION DE LA NOTION D'INTÉGRALE DOUBLE. fi

domaine D du plan(u,e);on a

cos a cos cosy an

po) Dos Dis) Dr) rc D (u, vs) D(u.v) D'fur,5r)

et l'intégrale précédente prend la forme D 3) EMbar me) IBACAN SES { = P , 7 ‘ (41) 114 APTE + ETS n + R Do du dv,

où l’on doit prendre le signe +. ou le signe — suivant le côté de la surface auquel l'intégrale est étendue.

Si la surface S se compose de plusieurs morceaux de surfaces régulières, ce qui a lieu par exemple s’il y a sur cette surface des arètes, suivant lesquelles se croisent deux nappes de surfaces régulières avec des plans tangents distincts, l'intégrale de surface étendue à S est par définition la somme des intégrales étendues à chaque portion de surface régulière. Nous raisonnerons toujours en supposant que S forme une seule surface régulière, mais les propriétés établies plus loin s'appliquent aussi à ce cas plus général, comme on le voit aussitôt en appliquant le raisonnement à chaque portion régulière, et ajoutant les formules obtenues.

On est conduit à des intégrales de la forme (39), quand on veut généraliser la définition des intégrales curvilignes, en remplaçant une ligne par une surface et une intégrale simple par une intégrale double. Soit

l'équation d’une surface S, limitée par un contour fermé l, la fonction o(x,y) étant continue à l’intérieur du domaine À du plan des xy, limité par la courbe fermée G projection du contour F. Soit d'autre part R(x,Y, z) une fonction continue sur cette surface S. L'intégrale double

(42) [Rte rte y)) 4x dy

est évidemment l’analogue d’une intégrale curviligne, et l’on pourrait prendre cette expression pour définition d’une intégrale de surface. Mais cette intégrale se ramène immédiatement à une intégrale de surface de la forme déjà considérée, car on peut l'écrire (n° 132)

[ f R(x,7,23)cosy do, LA (S)

7 étant l’angle aigu de la normale à S avec l’axe O3; elle est donc identique à une intégrale de surface étendue au côté supérieur de la surface S. La même intégrale changée de signe représenterait de même une intégrale

de surface étendue au côté inférieur de S. En particulier, on peut dire que

l'intégrale double ordinaire ff fx dy représente une intégrale de sur-

face étendue au côté supérieur du plan des æy. Cette remarque conduit à une notation abrégée pour l'intégrale de surface (39) que l’on représente aussi par

(43) ff Pay ds+Q ds dr +R dr dy, E (S)

en ayant soin d'indiquer le côté de la surface auquel l'intégrale est étendue. Mais cette notation est moins explicite que les précédentes (39) et (41), auxquelles il faut toujours revenir pour le calcul effectif de l'intégrale.

Remarque. — Soit V le vecteur de composantes P, Q, R, ayant pour origine un point M(x,y,z) de la surface; P cosa + Q cos8 + R cosy représente la valeur algébrique de la projection de ce vecteur sur la direction positive de la normale en M. L'élément de l'intégrale double (39) est donc égal, au signe près, au volume d’un cylindre ayant pour base un élément do de S et pour hauteur la projection du vecteur V qui a pour origine un point de cet élément sur la normale à S en ce point.

139. Formule de Stokes. — Étant donné un système d’axes rectangulaires Or, Oy, Oz, nous conviendrons d'appeler sens direct de rotation le sens de rotation de Ox vers O y pour un observateur placé sur Oz, les pieds en O et la tête sur la direction Oz. Si, par exemple, le trièdre a la disposition de la figure 27, l'axe Ox étant en avant du plan de la figure pris pour le plan y O2, le sens direct est le sens de rotation de droite à gauche; mais le résultat que nous allons établir est indépendant de la disposition des axes.

Soit S une surface régulière à deux côtés distincts, limitée par une courbe fermée l. Ce contour l peut être décrit dans deux sens différents: à chacun d’eux nous ferons correspondre un côté de S d’après la convention suivante. Soient AB un petit arc de T, P un point de S voisin de cet arc menons en P la direction P x de la normale telle qu’un observateur ayant les pieds en P et la tête sur la direction PA voit un mobile parcourant l'arc AB de À vers B se mouvoir dans le sens direct de rotation.

Au sens de parcours précédent du contour T nous ferons correspondre le côté de la surface S pour lequel la direction de la normale est Pn. Si par exemple S est une portion de surface représentée par une équation 32—%(x,7), la fonction w(x, y) étant continue dans le domaine limité par le contour fermé C, projection du contour T de S sur le plan des 2Y; lorsque le point M AG T de façon que sa projection m décrive C dans le sens direct ( fig. 27), le côté correspondant de la surface S est le côté supérieur.

Supposons que la surface s corresponde point par point à un domaine D