IL. — EXTENSION DE LA NOTION D'INTÉGRALE DOUBLE

du plan (u,v) limité par une courbe fermée L. Ces variables auxiliaires w, o disparaissant du résultat, nous pouvons supposer que le plan (w,e) est parallèle au plan des æy et que les axes Ou, Ov ont la même disposition que les axes Ox, O y. Lorsque Le point (uw, ») décrit ce contour L dans le sens direct (n° 96, note), le point (x, y, 3) décrit le contour F

dans un certain sens que nous appellerons le sens positif; à ce sens positif de parcours de correspond un côté déterminé de la surface, que nous appellerons aussi le côté positif. Les cosinus directeurs de la direction correspondante de la normale à la surface sont donnés par les formules (40),

où l'on prend le signe + devant VEG — F?. Il suffit, pour le prouver, de

: : DT) 5 montrer que cosy a le même signe que Su Considérons, en effet,un u, ?

point P de $ et une courbe fermée À autour de ce point assez petite pour que la portion s de $ intérieure à À ne puisse être rencontrée en plus d’un point par une parallèle à Oz; cette surface s se projette sur le plan des æy Suivant un petit domaines’, limité par la courbe fermée À’ projection de À. P Ù P Pro] A cette région s de S correspond dans le plan (u, e) un petit domaine r limité par une courbe fermée 1. Supposons que dans ce domaine le jaco- MHeD(x : LR | PRE: bien et soit positif; alors, quand le point (u,») décrit le contour / U, dans le sens direct, le point (x, y, 0) décrit aussi À’ dans le sens direct, et

le point (+,y,%) décrit À dans le sens positif. À ce sens positif de parcours de À correspond le côté positif de s qui est évidemment, d’après la remarque

de tout à l'heure, le côté supérieur de s. L'angle y est donc aigu, et l’on D(x, 7) D(u,v) est négatif. On a donc, pour les cosinus directeurs de la normale au côté positif de S, les formules

verrait de même que cet angle est obtus en tout point où le jacobien

rene, dy, cos B ds = DEAR , D'HenuRE D(u,») ne MAD CEINN cos y AS — D(u,v) u av.

Cela posé, soit it (æ, ÿ,3) dx une intégrale curviligne prise le long Jp

de l dans le sens positif; on peut la remplacer par l'intégrale curviligne

| dx dx | > Es | 0 Es ) Je CAN 2 on du + se de |

prise le long de L dans le sens direct. En appliquant à celle-ci la formule de Green (n° 193), il vient

CRE — SIP] | eu de C À pt 24 de dp | ou |

OP D(z,x) oP | FRET Re Lee.

is [5 D (u, +) 0y Du, pe)

Cette dernière intégrale double est identique, d’après les formules (44), à l'intégrale de surface

oi 0P 0P oP me 08 cosy | as = f [SE ds dr — — dx dy HUE YA dE cs 07

étendue au côté positif de S. En permutant circulairement +, y, 3, on a deux formules toutes pareilles

La) de TU He sa [ [ar dy ay ar,

0R 0R NT rs as= ff [Sa dz — — ds: dx; | je (Cr, y; 3) Arr =

en les ajoutant à la première, on obtient la formule générale de Stokes JPG, 2) de + Q(æ, y, 3) dy + R(x, y, 3) ds

F de 0Q oP oR 0Q : OP RES =J JG) ét (5 -S) aa (os) dede

le sens de parcours du contour Let le côté de la surface auquel l'intégrale est étendue se correspondent comme on l’a expliqué.

140. Application aux volumes. — De même que l'aire d’une courbe plane fermée s'exprime par une intégrale curviligne prise le long de cette courbe, tout volume intérieur à une surface fermée S s'exprime par une intégrale de surface. Considérons d’abord une surface fermée S qui n’est rencontrée qu’en deux points par une parallèle à Oz. Les points de cette surface se projettent sur le plan des 2Y à l'intérieur d’un domaine A, et tout point de A est la projection de deux points m1 et m2, de S. Soient

AT s. CL | Ü ‘ (1

31=/f1(x, y), 3 = fa(, y) les équations des deux nappes Set S2 décrites par les points m7, et mn: respectivement (fi <f>). Le volume est égal à la différence des deux intégrales doubles

v= ff Ana f HéfCer) dE dr:

dont la première représente l'intégrale de surface [ f= dx dy prise

suivant le côté supérieur de S2, tandis que la seconde est l'intégrale

1 f dx dy, prise suivant le côté supérieur de Si. Leur différence est LA

donc égale à l'intégrale / [- dx dy, étendue à la surface S tout entière,

suivant le côté qui correspond à la direction extérieure de la normale. Par raison de symétrie, on peut prendre pour expression du volume l’une quelconque des intégrales de surface

ff <a ar | fraras J {sa dr, (S) us (S) (S)

chacune d'elles étant prise suivant le côté extérieur, «et la formule s'étend à un volume limité par une surface quelconque (cf. n° 96, Remarque).

4. En un point quelconque M de la chaïînette définie en coordonnées rectangulaires par l'équation

on mène la tangente qu’on prolonge jusqu’à son point de rencontre T avec l'axe Ox, puis on fait tourner la figure autour de cet axe. Exprimer la différence des aires décrites par l'arc de chaînette AM, À étant le sommet de la chaînette, et par la tangente MT : 1° en fonction de l’abscisse du point M; 2° en fonction de l’abscisse du point T.

[Licence : Paris, 1880.]

9, Soient Ox, Oy, Oz trois axes rectangulaires. Une surface réglée est engendrée de la manière suivante : le plan z OA tourne autour de Oz; la génératrice D, située dans le plan, fait avec Oz un angle constant dont la tangente est À; elle intercepte sur OA (située dans le plan æO y) un segment OC égal à ka0, a désignant une ligne donnée et 6 l’angle des deux plans z20x, z OA.

1° Calculer le volumé limité par la surface réglée et les plans æO y, 30%, 3O0A, l’angle 0 des deux derniers étant moindre que 2T; 2° Calculer l’aire de la portion de surface limitée par les plans xO y, 0% 302:

[LICENCE : Paris, juillet 1882.]

3. Soient Ox, Oy. Oz trois axes rectangulaires. Calculer le volume limité par la surface du paraboloïde elliptique qui a pour équation